Jak ručně nakreslit spoustu Mandelbrot: 9 kroků

Mandelbrot Mnoho se skládá z bodů postavených na komplexní rovině tvořící Fraktální: stávkující forma nebo tvar, ve kterém je každá část vlastně snížená kopie celku. Neuvěřitelně oslnivé obrazy, skryté v množství Mandelbroke, by mohly být v 1500s v důsledku pochopení Raphael bombelly o imaginárních číslech - ale to nebylo, zatímco Benoit Mandelbrot a jiní nezačali prozkoumat fraktály pomocí počítače Byl otevřen tajemství vesmíru.

Teď, když víme, že existuje, můžeme se k němu přistupovat primitivněji: ručně. Zde je způsob zobrazení hrubé reprodukce konfigurace, jen aby pochopil, jak se provádí - pak dostanete hlubší spokojenost s vizualizací, co můžete udělat s mnoha dostupnými počítačovými programy, nebo můžete zobrazit na disku CD nebo DVD.

Kroky

jeden. Pochopit hlavní vzorec, často vyslovovánz = z + c. Jednoduše to znamená, že pro každý bod v Universe Mandelbrot, chceme vidět, i nadále počítáme Z,Zatímco se nedoší jeden ze dvou podmínek - pak ho maloval, abych ukázal, kolik výpočtů jsme udělali. Neboj se! Po následujících krocích bude jasné.

2. Vezměte 3 vícebarevné tužky nebo zlomené pastelky nebo tipy ze značek a černé špičaté tužky nebo pero, aby se osnovy.Důvodem, proč chceme tři barvy - provedeme první aproximaci ne více než 3 opakování (pasáže, nebo jinými slovy, pomocí vzorce na 3krát v bodě):

3. Černá značka, nakreslit velké labracts na palubě, 3x3 metrů, na list papíru.

4. Štítek (také černý) Střední náměstí (0, 0) ". Jedná se o konstantní bod bodu - konstanta (`C`) přesně ve středu čtverce. Řekněme, že každý čtvercový 2 jednotky v šířce, takže přidejte a / nebo odečtěte 2 až / z hodnot každého čtverce Ns a W , kde Ns První číslo I W - druhý. Když je hotovo, bude to vypadat, že je zde ukázán. Kdykoliv dodržujete buňku, musí být hodnoty (druhého čísla) stejné, kdykoli budete dodržovat buňky dolů, hodnoty x (první číslo) by měly být stejné.

Pět. Vypočítat první průchod nebo Opakovat , Vzorce. Vy, jako počítač (ve skutečnosti počáteční význam slova byl "osoba, která vypočítá") může udělat sami. Začněme s těmito předpoklady:

Počáteční hodnota z každého čtverce (0, 0). Když je absolutní hodnota Z pro tento bod větší nebo rovna 2, pak bod (a odpovídající čtverec), jak se říká, Vyhnout se Sady mandelbrot. Když se to stane, budete malovat náměstí v závislosti na počtu opakování vzorce, které jste v té době uvedli. Obrázek s názvem 217503 5A

Vyberte barvy, které budete používat pro průkazy 1, 2 a 3. Předpokládejme, že bude červená, zelená a modrá, pro účely tohoto článku. Obrázek s názvem 217503 5b

Vypočítejte hodnotu Z pro levý horní roh krycí desky křížové štítky, za předpokladu, že počáteční hodnota Z je 0 + 0i nebo (0, 0) (viz část Tipy pro lepší pochopení těchto snímků). Používáme vzorec z = z + c, Jak je popsáno v prvním kroku. Rychle uvidíte, že v tomto případě,Z + Cjednoduše `s` , Jako nula Squared je jen nula. S čím `C` je pro tuto oblast? (-2, 2). Obrázek s názvem 217503 5c

Určete absolutní hodnotu tohoto bodu Absolutní hodnota komplexního čísla (A, B) je druhá odmocnina z A + B. Teď, protože to porovneme se známým významem: `2` , Můžeme se vyhnout výpočtové odmocnině, porovnání + B do 2, které víme, je stejný "4" .Na tomto výpočtu A = -2 a B = 2. Obrázek s názvem 217503 5d

([-2] + 2) =

(4 + 4) =

8, více než 4.

Vypadalo to z množství mandelbrot po prvním výpočtu, protože jeho absolutní hodnota je větší než 2. Sbírejte ji s tužkou vybranou pro objednávku. Obrázek s názvem 217503 5e

Udělejte to samé pro každé náměstí na palubě, s výjimkou centrálního čtverce, který nebude zbaven souboru mandelbroke ve 3. průchodu (a nikdy nebude zbaven). Takže jste použili pouze dvě barvy: barva prvního trvalého všech externích čtverců a třetí barevná barva pro středovou linii.

6. Zkusme čtverce třikrát více , 9 až 9, ale stále zachovává maximálně 3 opakování.

7. Začněte od 3. řádku dolů, protože zde se stává zajímavým okamžitým.

První prvek, (-2, 1) je větší než 2 (protože (-2) + 1 instalací 5), takže se nakreslete jednu červenou, protože unikne sadu mandelbrot na prvním průchodu. Obrázek s názvem 217503 7a

Druhý prvek, (-1.5, 1) Ne více než 2. Spoléhat se na vzorec absolutní většiny, x + y, kde x = -1.5 a y = 1: Obrázek s názvem 217503 7b

(-jeden.5) = 2.25

1 = 1

2.25 + 1 = 3.25, méně než 4, takže druhá odmocnina je menší než 2.

Tak, obrátíme se k naší druhé pasáži, výpočet Z + C za použití zkratky (X-Y, 2xy) pro Z (viz část Tipy, pro kterou je tato zkratka vyrobena), s X = -1,5 a Y = 1: Obrázek s názvem 217503 7c

(-jeden.5) - 1 se stává 2.25 - 1, který se stává jeden.25;

2xy, kde x-1.5 a y 1, se stává 2 (-1.5), což je stejné -3.0;

To nám dává z (1.25, -3)

Nyní se přidat C Do této buňky (přidejte x do x, y až y) dostaneme (-0.25, -2)

Podívejme se, zda je nyní více než 2 absolutní hodnota. Zvažujeme X + Y: Obrázek s názvem 217503 7d

(-.25) = .0625

-2 = 4

.0625 + 4 = 4.0625, jehož druhová odmocnina je větší než 2, vyjde se po druhém průchodu: naše první zelená!

Vzhledem k tomu, že jste nyní obeznámeni s výpočty, budete někdy schopni říci, jak se člověk může vyhnout sadě Mandelbroke, jen při pohledu na čísla. V tomto příkladu má komponenta Y hodnotu 2, ve které, kdy je hodnota jiného čísla na náměstí a čtverec větší než 4. Jakékoliv číslo, větší než 4, bude mít druhý odmocninu více než 2. Podrobnější vysvětlení viz níže uvedené tipy.

Třetí prvek s hodnotou (-1, 1) se nevyhnete první pasáži: kde a 1 a -1 na čtverci - je to 1, x + y je 2. Takže zvažujeme Z + C pomocí štítku (X-Y, 2xy), kde Z: Obrázek s názvem 217503 7e

(-1) -1 se stává 1-1, což je 0;

2xY pak2 (-1) = -2;

z = (0, -2)

Přidáním C, dostaneme (0, -2) + (-1, 1) = (-1, -1)

To je vše stejná absolutní hodnota, jako dříve (druhá odmocnina dvou, asi 1.41) - Pokračování třetího opakování: Obrázek s názvem 217503 7f

([-1]) - ([- 1]) se stává 1-1, což se rovná 0 (opět)...

Ale nyní 2xy je 2 (-1) (- 1), který je 2, rovný hodnotu Z (0, 2)

Přidat C Get (0, 2) + (-1, 1) = (-1, 3), pak A + B je 10, mnohem více než 4.

Tentokrát se tedy vyhnout. Barva 6 buněk ve vaší třetí barvě, modré a jít na další, protože jsme z tohoto bodu dokončili tři opakování. Obrázek s názvem 217503 7g

Skutečnost, že používáme pouze tři barvy, se zřejmá jako problém, protože to, co urychluje pouze po 3 opakováních, malované stejným způsobem jako (0, 0), které "nikdy" běží pryč - zřejmě jste stále ještě neuvidíte cokoliv blíže k "chybě" mandelbrot na této úrovni detailů.

osm

Pokračujte v výpočtech v každé buňce , I když neovlivnil, nebo jste dosáhli maximálního počtu opakování (počet barev, které používáte: 3 v tomto příkladu), v tomto okamžiku jej namalujete. Zde je, jak matice 9 na 9 se stará o 3 opakování na každém náměstí ... Vypadá něco!

devět. Opakujte stejnou matici znovu s velkým počtem barev (opakování), abyste identifikovali následující několik vrstev, nebo lepší, aby mnohem větší matice pro dlouhodobý projekt! Získáte přesnější obrázky podle:

Obrázek s názvem Mandelgen_81_81_0_0_1_rgb_fast_533

Zvýšení počtu buněk je 81 buněk na každé straně. Věnujte pozornost podobnosti z matrice 9 až 9 výše, ale s mnohem hladší hrany na kruhu a oválu.

Obrázek s názvem Mandelgen_81_81_0_0_1_rgb2black_dfast_797

Zvýšení počtu barev (opakování) - má 256 odstínů červené, zelené a modré celkem 768 barev ve srovnání s 3. Všimněte si, že nyní můžete vidět obrysy známého jezera Mandelbrot (nebo "chyby", v závislosti na tom, jak se na něj podíváte). Nevýhodou je množství času, který je vyžadován, pokud můžete vypočítat každé opakování 10 sekund, je to asi 2 hodiny pro každou buňku, nebo tak, jezero Mandelbrot. I když se jedná o relativně malou část matice 81 na 81, bude to stále možné, bude trvat rok, než ho dokončí, i když jste pracovali během několika hodin denně. To je místo, kde je vhodný typ křemíku.

Tipy

Proč z = (x-y, 2xy)?

Vynásobte dvě komplexní čísla jako (A, B) C (C, D), použijte zde následující vzorec: Článek Mathworld: (A, B) (C, D) = (AC - BD, BC + AD)
Neustále násobený druhou odmocninou záporného čísla 1, často volal `I` . Komplexní číslo (0, 0), například 0 + 0I, a (-1, -1) (1) + (-1 * i) .Mít na paměti, že komplexní číslo má "skutečný" a "imaginární" část a druhé číslo.

Stále s námi? Nezapomeňte, že podmínky ale a s - Nemovitý, Itermines B a D Imaginární . Proto, když jsou imaginární členové vynásobeni, druhý kořen negativní 1 násobené samotným, dává negativní 1, popírá výsledek a dělá to Nemovitý- Zatímco počet "ad" "a" bc přístup je imaginární, protože druhá odmocnina záporných 1 je stále výrazem těchto produktů. Proto máme AC - Nemovitý , a bc + reklama imaginární.
Nyní, protože jsme postaveni do čtverce čísla namísto násobení dvou různých čísel, může být mírně zjednodušen jako A = S, a in = D, máme produkt ve formě (A-B, 2AB). A protože odrážíme "komplexní letadlo" na "kartézské letadlo", s `X` osa představující "skutečný" a `Y` Osy představující "imaginární", se vztahuje (X-Y, 2xy).

Pokud znovu spočítáte buňku znovu a znovu, a všimněte si, že výsledek, který je přesně stejný jako ten, který jste již obdrželi pro tuto buňku, víte, máte do nekonečného cyklu - že klec se nikdy nerozlučuje! Tak, můžete získat štítek, konečnou barvu vašich buněk a přechod na další. (0, 0), zřejmě jeden z těchto buněk.

Chcete se dozvědět více o udělení absolutní hodnoty integrovaného čísla, nefunguje na výpočtech?

Absolutní hodnota komplexního čísla (A, B) je druhá odmocnina kořene A + B, stejně jako ale a `B` jsou prezentovány v pravém úhlu k sobě na cartesské mřížce (x a na souřadnicích). Proto, protože víme, že sada mandelbroke je omezena na hodnotu 2, a čtverec 2 = 4, můžeme obejít čtvercové kořeny, jednoduše zjistit, zda x + y> = 4.

Pokud má Catat délku> = 2, pak by měla být také hypotenuse (diagonální strana) větší než 2. Pokud nevidíte, proč je to tak, podívejte se na obdélníkové trojúhelníky na kartézské mřížce, a to bude zřejmé, nebo jednoduše přemýšlet o tom takhle: 2 = 4, a přidávat další kladné číslo k tomuto (a odstranění negativních čísel číslo na náměstí, vždy pozitivní) nemůže vést k výsledku méně než 4 . Pokud tedy jedna složka X nebo integrovaného čísla má hodnotu 2 nebo více, absolutní hodnota tohoto čísla je větší nebo rovna 2, a sada mandelbroke se vyhýbá.

Pro výpočet "virtuální šířky" každé buňky rozdělujeme "virtuální průměr" na "počet buněk mínus jeden". Používáme virtuální průměr 4 v příkladech výše, jak chceme ukázat vše v poloměru 2 (sada mandelbroke je omezena na hodnotu 2). Pro 3-strannou aproximaci, která `4 / (3 - 1)` , který je stejný `4/2` , Co odpovídá `2` . Pro 9jstrannou oblast je `4 / (9 - 1)` , který je stejný `4/8` , Co odpovídá `0,5` . Použijte stejnou velikost virtuálních buněk pro výšku a šířku, i když provedete jednu stranu delší než druhá, jinak bude sada zkreslena.

Jak ručně nakreslit spoustu mandelbrot

Kroky

Tipy

Varování