Jak vytvořit fraktální mnoho Apollo: 10 kroků

Mnoho Apollo je typ fraktálu, který je postaven neustále snižujícím v průměru kruhů v jednom velkém kruhu. Každý kruh v sadě Apollo je "tangent" v sousedních kruzích, jinými slovy, kruhy v souboru Apollo přicházejí do kontaktu pouze v nekonečně nízkém bodě. On je pojmenován na počest řecké matematiky Apollonia Perga. Tento typ fraktálního mírného stupně složitosti může být postaven na počítači nebo ručně, vytváří krásný a jasný obraz. Viz krok 1 níže, abyste mohli začít.

Kroky

Část 1 z 2:

Další informace o základních pojmech

Pokud se jednoduše zajímáte o budování souboru Apollo, není nutné provést matematické studie fraktálu. Pokud však chcete pochopit tento fraktální hlubší, je důležité znát definice řady pojmů, které budou použity v diskusi o tomto tématu.

jeden. Určovat klíčové pojmy. V následujících pokynech se používají následující termíny:

Mnoho Apollo: jeden z několika jmen fraktálního typu, který se skládá ze skupiny kruhů umístěných ve velkém kruhu a vztahující se k všem přilehlému. To se také nazývá soddy kruhy nebo "líbání kruhy".
Poloměr kruhu: Vzdálenost od středu obvodu do bodu ležícího na kruhu. Typicky označuje proměnnou "r".
Zakřivení kruhu: pozitivní nebo negativní hodnota reverzního poloměru, nebo ± 1 / r. Zakřivení je pozitivní pro vnější straně obvodu a negativní - pro vnitřní.
Tanner: Termín platí pro linky, letadla a čísla, které se protínají v jednom nekonečně nízkém bodu. V množství Apollo se odkazuje na skutečnost, že každý kruh se týká sousedství pouze na jednom místě. Upozorňujeme, že křižovatka chybí - tečná čísla se nepřekrývají.

Obrázek s názvem Vytvořit apollonské těsnění Krok 2

2. Dodržujte větu Decartes.Decartes Teorem je vzorec, který se používá při počítání velikostí kruhů v sadě Apollo. Pokud definujeme zakřivení (1 / R) všech tří kruhů A, B, a C Většina říká, že zakřivení kruhu (nebo kruhy), který je tečenem pro všechny tři kruhy určené D,se rovná: D = A + B + C ± 2 (√ (A × B + B × C + C × A).

Pro naše účely použijeme pouze odpověď, kterou jsme dostali, uvedení znaménko plus před druhou odmocninou (jinými slovy ... +2 (√ (√ (...)). V současné době stačí vědět, že způsob odečtení v rovnici se používá v jiných souvisejících úkolech.

Část 2 z 2:

Budování sady Apollo

Mnoho Apollo má tvar krásného fraktálního designu od řezání velikosti kruhů. Matematicky, mnoho Apollo je nekonečně komplikované, ale používáte počítačový program, nebo tradiční nástroje pro kreslení, skončíte dosažení tohoto okamžiku, když není možné nakreslit menší kruh. Všimněte si, že čím přesněji nakreslíte kruh, tím více bude odpovídat více Apollo.

jeden. Sbírejte digitální a analogové nástroje pro kreslení. V následujících pokynech budujeme naše jednoduché mnoho Apollo. Můžete vytvořit různé sebe nebo pomocí počítače. V každém případě musíte kreslit dokonale hladké kruhy. To je velmi důležité. Vzhledem k tomu, každý kruh ve fraktálu se musí dokonale zapadnout s přilehlými kruhy, každý dokonce mírně deformovaný kruh může zkazit svůj konečný výsledek.

Pokud vybudujete hodně v počítači, budete potřebovat program, který vám umožní snadno nakreslit kruh pevného poloměru. GFIG - Vector Graphics Extension pro Free Gimp Image Editing Software. Lze jej použít v širokém spektru jiných grafických programů. Možná budete potřebovat kalkulačku a textový editor nebo běžný notebook pro poloměr a zakřivení poznámek.
Chcete-li nastavit ručně, budete potřebovat kalkulačku (žádoucí vědecko nebo grafiku), tužku, cirkul, linka (nejlépe s milimetrem Markupem), milimetrový papír a poznámky k poznámkám.

Obrázek s názvem Vytvořit apollonské těsnění kroku 4

2. Začněte s jedním velkým kruhem. Vaším prvním úkolem je jednoduše nakreslit jeden velký, dokonale hladký kruh. Čím větší je kruh, tím obtížnější to může být vaše fraktální, takže zkuste vytvořit takový kruh, který velikost papíru umožňuje, nebo tak, aby mohlo být zcela vidět na obrazovce v grafickém programu.

Obrázek s názvem Vytvořit apollonské těsnění Krok 5

3. Nakreslete menší kruh v prvním kruhu, který se ho dotkne na jednom místě. Tak, nakreslete kruh uvnitř našeho prvního kruhu, bude to méně než hlavní, ale stále docela velký. Přesná velikost druhého kruhu závisí na vás, protože neexistuje žádná velikost. Nicméně, pojďme nakreslit druhý kruh, aby zabíral polovinu hlavního kruhu. Jinými slovy, jeho střed je uprostřed většího poloměru kruhu.

Pamatujte si, že v sadě Apollo jsou všechny kruhy tečny. Pokud používáte cirkulaci při stavebním kruhu, znovu vytvořit tento účinek tím, že se usute o ostrý konec cirkulace uprostřed poloměru hlavního kruhu, a upravit kruhovou tužku takovým způsobem, že jednoduše zasál okraj kruhu, a pak nakreslete menší vnitřní kruh.

Obrázek s názvem Vytvořit apollonské těsnění Krok 6

4. Nakreslete identický kruh vedle menšího vnitřního kruhu. Tak pojďme kreslit další obvod vedle první. Obvod by měl být tečencí na obě kruhy: vnější větším a vnitřní menší, což znamená, že obě vnitřní kruhy přicházejí do kontaktu přesně ve středu velkého.

Obrázek s názvem Vytvořit apollonské těsnění Krok 7

Pět. Použijte Decartes Teorem pro výpočet rozměrů následujících kruhů. Zastavte malbu. Teď, když máme tři obvody ve fraktálu, můžeme použít větu Decartes, abychom našli poloměr dalšího kruhu, který budeme kreslit. Vzpomeňte si na Desccette teorémovou rovnici D = A + B + C ± 2 (√ (A × B + B × C + C × A), kde A, B a C jsou zakřivení tří tangentních kruhů a D - zakřivení obvodu tečny na všechny tři. Proto najít poloměr našeho dalšího kruhu, pojďme vypočítat zakřivení každého obvodu, které máme, dokud nenajdete zakřivení dalšího kruhu a pak vypočítat jeho poloměr.

Určíme poloměr vnějšího obvodu jako jeden. Jako jiné kruhy jsou uvnitř toho, zabýváme se "vnitřním" zakřivením (místo vnějšího), a proto víme, že je negativní. - 1 / r = -1/1 = -1. Takže zakřivení velkého kruhu je stejný -jeden.

Poloměr menších kruhů je polovina poloměru je velký, to je 1/2. Vzhledem k tomu, že tyto kruhy přicházejí do styku mezi sebou a hlavním kruhem externími stranami, se zabýváme vnějším zakřivením, pozitivní. 1 / (1/2) = 2. Proto je zakřivení menších kruhů stejný 2.

Teď víme, že A = -1, B = 2 a C = 2 v naší rovnici věty Decartes. Pojďme vypočítat D:

D = A + B + C ± 2 (√ (A × B + B × C + C × A)

D = -1 + 2 + 2 ± 2 (√ (-1 × 2 + 2 × 2 + 2 × -1))

D = -1 + 2 + 2 ± 2 (√ (-2 + 4 + -2))

d = -1 + 2 + 2 ± 0

D = -1 + 2 + 2

D = 3. Zakřivení dalšího obvodu 3. Od 3 = 1 / r, poloměr tohoto kruhu bude roven 1/3.

Obrázek s názvem Vytvořit apollonské těsnění Krok 8

6. Nakreslete následující pár kruhů. Chcete-li nakreslit následující dva kruhy, použijte hodnoty poloměru, které jste právě našli. Nezapomeňte, že tyto obvody jsou tečny k těm, jejichž zakřivení bylo použito při počítání věty Decartes. Jinými slovy se budou týkat a hlavními a sekundárními kruhy. Takže tyto kruhy se týkají třikrát ostatním, musíte je vtáhnout do volné oblasti nahoře a dole v hlavním kruhu.

Nezapomeňte, že poloměr těchto kruhů je 1/3. Squeeze 1/3 z okraje vnějšího kruhu a pak nakreslete nový. Musí to být tečná na všechny tři blízké kruhy.

Obrázek s názvem Vytvořit apollonské těsnění Krok 9

7. Tak, i nadále přidat kruh. Vzhledem k tomu, že jsou fraktály, mnoho Apollo je nekonečně komplexní. To znamená, že můžete přidat obvod na rostoucí a menší fraktální. Jste omezeni pouze na přesnost vašich nástrojů (nebo pokud používáte počítač, schopnost grafického programu pro přiblížení). Každý kruh, bez ohledu na to, by mělo být tečná až tři ostatní. Chcete-li kreslit každý následující kruh, použijte hodnotu zakřivení tří tečnů na to kruhy pro větu Decartes. Pak s pomocí odpovědi přesně nakreslit nový kruh.

Upozorňujeme, že sada, kterou jsme se rozhodli stavět, je symetricky, takže poloměr jednoho kruhu je stejný jako poloměr obvodu je identický. Nicméně, ne všechny sady Apollo Symetrical.

Udělejme další příklad. Předpokládejme, že po budování posledního několika kruhů budeme chtít kreslit kruh tečna k našemu třetímu páru a hlavním kruhu. Zakřivení těchto kruhů je 3, 2 a -1, resp. Nyní zahrneme tato čísla v teorému Decarte, nastavení, že A = -1, B = 2 a C = 3:

D = A + B + C ± 2 (√ (A × B + B × C + C × A)

D = -1 + 2 + 3 ± 2 (√ (-1 × 2 + 2 × 3 + 3 × -1))

D = -1 + 2 + 3 ± 2 (√ (-2 + 6 + -3))

D = -1 + 2 + 3 ± 2 (√ (1))

D = 2, 6. Máme dvě odpovědi! Víme však, že náš nový kruh bude menší než tečnice, to znamená, že to bude smysl pouze význam zakřivení 6 (a poloměr 1/6).

Další odpověď, 2, ve skutečnosti se týká hypotetického kruhu na "jiné straně" bodu tečny na druhý a třetí kruh. Tento kruh je tečný k oběma těmto kruhu a na hlavní, ale překročí obvod, který jsme již vypracovali, takže tuto odpověď můžete ignorovat.

Obrázek s názvem Vytvořit apollonské těsnění Krok 10

osm. Jako test se snažte vybudovat asymetrické mnoho Apollo, změna velikosti druhého kruhu. Všechny sady Apollo začínají stavět ze stejného - s velkým vnějším kruhem, což je hranice fraktálu. Není však nutné, aby byl poloměr druhého kruhu 1/2 první. Právě jsme se rozhodli vzít tyto čísla pro jednoduchost a lehkost v porozumění. Pro potěšení se pokuste vybudovat novou sadu s druhým okruhem jiné velikosti - to povede k novým směrům ve studii.

Po vybudování druhého kruhu (bez ohledu na jeho velikost) by vaše další akce měla být výstavba jednoho (nebo více) obvodu, což je tečna a druhá, a na hlavní vnější kruhy - neexistuje jen skutečný způsob stavby to. Poté můžete použít větu Decartes, aby se stanovil poloměr následných kruhů, jak je uvedeno výše.