Jak najít reverzní matrici 3x3 -

Zpravidla se inverzní operace používají ke zjednodušení komplexních algebraických výrazů. Pokud je například úkol přítomen v rozdělení frakce, je možné jej nahradit s násobnou operací pro zpětnou frakci, která je inverzní operace. Matice se navíc nemohou rozdělit, takže je třeba se množit na matrici návratu. Vypočítejte matici, inverzní matrici velikosti 3x3, spíše únavné, ale musíte to udělat ručně. Také reverzní hodnota lze nalézt pomocí dobré grafické kalkulačky.

Kroky

Metoda 1 z 3:

Pomocí připojené matrice

jeden. Zkontrolujte determinant matrice. Nejprve spočítejte determinant matrice. Pokud je determinant 0, pak nelze vypočítat reverzní matrice. Determinant matrice m je označen jako det (m).

V případě matice 3x3 musíte nejprve spočítat determinant.
Chcete-li získat podrobné informace, přečtěte si článek Jak najít determinant matrice 3x3.

Obrázek s názvem Najít inverzní o 3x3 matrice Krok 2

2. Transparenpate původní matrici. TRANSPOSITION je výměna řádků na sloupcích vzhledem k hlavní diagonální matrici, to znamená, že je nutné změnit prvky (I, J) a (J, I) místa. Současně, prvky hlavní úhlopříčky (začíná v levém horním rohu a končí v pravém dolním rohu) se nemění.

Chcete-li změnit řádky na sloupcích, napište první řádkové prvky v prvním sloupci, prvky druhého řádku ve druhém sloupci a prvky třetího řádku ve třetím sloupci. Postup pro změnu polohy prvků je znázorněn na obrázku, na kterém jsou odpovídající prvky krouženy s barevnými kruhy.

Obrázek s názvem Najít inverzní inverzní matrice 3x3 Krok 3

3. Najít Definujte každou matici 2x2. Každý prvek jakéhokoliv matrice, včetně transponovaného, je spojen s odpovídající matricí 2x2. Chcete-li najít matici 2x2, která odpovídá specifickému prvku, překročte řetězec a sloupec, ve kterém je tato položka umístěna, to znamená, že je třeba překročit pět prvků původní matrice 3x3. Nepočítané čtyři prvky, které jsou prvky odpovídající matrice 2x2.

Chcete-li například najít matici 2x2 pro položku, která je umístěna na křižovatce druhého řádku a prvního sloupce, přejde pět prvků, které jsou ve druhém řádku a prvním sloupci. Zbývající čtyři prvky jsou prvky odpovídající matrice 2x2.

Najděte determinant každé matrice 2x2. K tomu bude produkt prvků sekundární diagonální odečteno z práce položek hlavní diagonální (viz obrázek).

Podrobné informace o matricích 2x2 odpovídající určitým prvkům matice 3x3 lze nalézt na internetu.

Obrázek s názvem Najít inverzní o 3x3 matrice Krok 4

4. Vytvořit matrici kofaktoru. Výsledky získané dříve, zapište si jako novou matrici kofaktoru. Pro tento účel bude identifikátor každé matrice 2x2 zapisovat tam, kde byl umístěn odpovídající prvek matrice 3x3. Například, pokud je matrice 2x2 zvažována pro prvek (1.1), jeho determinant je zaznamenán v poloze (1,1). Pak změňte známky odpovídajících prvků podle specifického schématu, který je znázorněn na obrázku.

Schéma změny značek: Znaménko prvního prvku prvního řádku se nemění - znamení druhého prvku prvního řádku se změní na opačnost - znak třetího prvku prvního řádku se nemění a tak na lince. Upozorňujeme, že značky "+" a ";", které jsou zobrazeny v diagramu (viz obrázek), neuvádějí, že odpovídající prvek bude pozitivní nebo negativní. V tomto případě znaménko "+" naznačuje, že znak prvku se nezmění a znak ";" označuje změnu podepsat prvek.

Podrobné informace o matricách kofaktorů naleznete na internetu.

Takže najdete připojenou matici původní matrice. Někdy se nazývá komplex-konjugát matrice. Taková matice je indikována jako adj (m).

Obrázek s názvem Najít inverzní matrice 3x3 Krok 5

Pět. Oddělte každý prvek připojené matrice k determinantu. Determinant matice M byla vypočtena na samém počátku, aby ověřil, že reverzní matrice existuje. Nyní rozdělte každý prvek připojené matrice k tomuto determinantu. Výsledek každé operace rozdělení bude zapisovat, kde se nachází odpovídající položka. Takže najdete matici, inverzní zdroj.

Determinant matrice, který je znázorněn na obrázku, je 1. Zde je připojená matrice reverzní matrice (protože při dělení libovolného čísla na 1 se nezmění).

V některých zdrojích je operace rozdělení nahrazena multiplikační operací o 1 / det (m). V tomto případě se konečný výsledek nemění.

Metoda 2 z 3:

Pomocí elementárních transformací

jeden. Jediný matricový zápis vedle původní matrice. Zaznamenejte počáteční matici m vpravo od ní, nakreslete svislou čáru a potom vpravo od řádku zapište matici jednotky. Ukázalo se, že matrice se třemi řadami a šesti sloupců (velká matice).

Připomeňme si, že jediná matrice je matrice, kde jsou prvky hlavní diagonální jednotky, a zbytek prvků jsou nuly. Podrobné informace o jednotlivých matricích naleznete na internetu.

Obrázek s názvem Najít inverzi 3x3 matrice Krok 7

2. Provádět elementární transformace, aby se dosáhlo jedné matrice pro získání jednoho. Naším cílem je vytvořit jednu matici na levé polovině velké matrice. Elementární transformace prováděné na levé polovině velké matrice musí být také prováděna na pravé polovině (připomínáme, že pravá polovina velké matrice je jediná matrice).

Nezapomeňte, že elementární transformace zahrnují skalární multiplikační operace, stejně jako navíc a odečtěte řetězce pro oddělení určitých prvků. Podrobné informace o konverzích základních matric naleznete na internetu.

Obrázek s názvem Najít inverzní o 3x3 matrice Krok 8

3. Pokračujte v převod velké matrice, dokud se levá polovina (tj. Zdrojová matice) se nezapne do jediné matrice. Připomeňme si, že jediná matrice je matrice, kde jsou prvky hlavní diagonální jednotky, a zbytek prvků jsou nuly. Když se počáteční matrice stane singlem, na pravé polovině velké matice obdržíte matici, inverzní zdroj.

Obrázek s názvem Najít inverzní inverzní krok 3x3 matrice 9

4. Zapište si inverzní matrici. Zapište si prvky umístěné na pravé polovině velké matice, jako samostatná matrice, která je vrácená matrice.

Metoda 3 z 3:

Pomocí kalkulačky

jeden. Vyberte kalkulačku, která pracuje s matrice. S pomocí jednoduchých kalkulaček je nemožné najít reverzní matrici, ale to lze provést na dobré grafické kalkulačce, jako jsou Texas Instruments Ti-83 nebo Ti-86.

Obrázek s názvem Najít inverzi 3x3 matrice Krok 11

2. Zadejte zdrojovou matici v paměti kalkulačky. Chcete-li to provést, stiskněte tlačítko MATRIX (MATRIX), pokud je. V případě kalkulačky Texas Instruments bude muset stisknout tlačítka 2 a matic.

Obrázek s názvem Najít inverzní o 3x3 matrice Krok 12

3. Vyberte nabídku Úpravy (upravit). Udělejte to pomocí tlačítek se šipkami nebo odpovídajícím tlačítkem funkcí, který je v horní části klávesnice kalkulačky (umístění tlačítka závisí na modelu kalkulačky).

Obrázek s názvem Najděte inverzní o 3x3 matrice Krok 13

4. Zadejte označení matice. Většina grafických kalkulaček může pracovat s 3-10 matricemi, které mohou být označeny písmeny A-J. Jednoduše vyberte možnost [A] pro označení původní matrice. Poté stiskněte tlačítko ENTER.

Obrázek s názvem Najít inverzní o 3x3 matrice Krok 14

Pět. Zadejte velikost matice. Tento článek odkazuje na 3x3 matric. Grafické kalkulačky však vědí, jak pracovat s velkými matricemi. Zadejte počet řádků, stiskněte tlačítko ENTER a zadejte číslo sloupců a znovu stiskněte tlačítko Enter.

Obrázek s názvem Najít inverzní o 3x3 matrice Krok 15

6. Zadejte každý prvek matice. Na obrazovce kalkulačka se zobrazí matice. Pokud byla matice již předložena dříve v kalkulačce, zobrazí se na obrazovce. Kurzor přidělí první prvek matice. Zadejte hodnotu první položky a stiskněte klávesu ENTER. Kurzor se automaticky přesune na následující prvek matice.

Chcete-li zadat zápornou hodnotu prvku, stiskněte speciální tlačítko s znakem "MINUS", a nikoli tlačítko Odčítání - jinak nebude kalkulačka schopna správně zpracovat toto číslo.

Chcete-li jít do konkrétního prvku matice, použijte tlačítka se šipkami.

Obrázek s názvem Najít inverzní o 3x3 matrice Krok 16

7. Ukončete režim správy matrice. Zadání hodnot všech prvků matic, klepněte na tlačítko Quit. (Nebo v případě potřeby stiskněte tlačítka 2 a ukončete.) Takže budete opustit režim podání matice a jít na hlavní obrazovku kalkulačky.

Obrázek s názvem Najít inverzní 3x3 matrice Krok 17

osm. Použijte speciální tlačítko pro nalezení reverzní matrice. Nejprve zadejte režim vstupu matice (stiskněte tlačítko MATRIX) a stisknutím tlačítka Názvy vyberte označení matice, které jste uvedli dříve (s největší pravděpodobností [A]). Poté stiskněte tlačítko Reverse Operation, který je označen jako

X - jeden

$X ^ {{- 1}}$ (Možná budete muset nejprve stisknout tlačítko 2). Zobrazí se na obrazovce

A - jeden

$A ^ {{- 1}}$ . Stiskněte ENTER pro zobrazení inverzní matrice.

Nepoužívejte tlačítko ^ (tlačítko pro puštění do značné míry) pro zadání A ^ -1 stisknutím více tlačítek. Kalkulačka tuto operaci nerozumí.

Pokud po kliknutí na tlačítko Reverse Operation se na obrazovce objevila chybová zpráva, s největší pravděpodobností inverzní matrice neexistuje. Ujistěte se, že vypočítat identifikaci matric.

Obrázek s názvem Najít inverzní o 3x3 matrice Krok 18

devět. Převést hodnoty prvků vratných matric do běžných frakcí. Ve výchozím nastavení se kalkulačka zobrazí hodnoty prvků návratové matrice ve formě desetinných frakcí - ve většině případů nemůže být taková matice napsána v reakci. Proto musí být desetinné hodnoty prvků návratové matrice převedeny na běžné frakce (v nejvzácnějších případech budou všechny prvky vrácené matice celá čísla).

V mnoha grafických kalkulačcích je tlačítko, které vám umožní převést desetinné frakce běžné. Například na kalkulačce Ti-86 klepněte na položku Matematika, vyberte možnost Různé (jiné), poté vyberte možnost Frac a stiskněte klávesu Enter. Desetinné frakce budou automaticky převedeny na běžné.

Tipy

Popsané metody lze aplikovat na matice, jejichž prvky jsou nejen čísly, ale také proměnné, neznámé a rovnoměrné algebraické výrazy.
Výpočtové záznamy na papíře, protože je velmi obtížné najít reverzní matrici.
Existují počítačové programy, které mohou pracovat s jakýmkoliv maticemi, včetně matrice 30x30.
Zkontrolujte odpověď získaná pomocí některého z metod popsaných v tomto článku. Pro tohle násobit Zdroj (m) a reverzní (m) matrice. Nezapomeňte, že m * m = m * m = 1. Jediná matrice je matrice, kde jsou prvky hlavní diagonální jednotky a zbytek prvků jsou nuly. Pokud výsledek násobení není roven 1, zkontrolujte výpočty.

Varování

Ne všechny matice 3x3 reverzibilní. Pokud je determinant matice 0, reverzní matrice neexistuje. (Upozorňujeme, že v rámci výpočtů existuje rozdělení a nelze jej rozdělit na 0.)