Jak řešit rovnice s kořenem (s obrázky)

Zatímco zastrašující vzhled symbolu druhé odmocniny může způsobit, že někdo, kdo není dobrý v matematice, problémy s druhou odmocninou nejsou tak obtížné, jak by se na první pohled mohlo zdát. Jednoduché problémy s druhou odmocninou lze často vyřešit stejně snadno jako běžné problémy s násobením nebo dělením. Na druhou stranu složitější úkoly mohou vyžadovat určité úsilí, ale se správným přístupem to pro vás nebude obtížné. Začněte s rootovanými problémy ještě dnes a naučte se tuto radikálně novou matematickou dovednost!

Kroky

Část 1 ze 3:

Porozumění čtvercům a odmocninám

jeden. Umocněte číslo tak, že ho vynásobíte. Abyste pochopili druhou odmocninu, je nejlepší začít s druhou mocninou. Čtverečky čísel jsou docela jednoduché: umocnit číslo znamená znásobit to samo. Například 3 na druhou je stejné jako 3 × 3 = 9 a 9 na druhou je stejné jako 9 × 9 = 81. Čtverce jsou označeny napsáním malého čísla „2“ vpravo nad číslo čtverce. Příklad: 3, 9, 100, a tak dále.

Snažte se postavit několik dalších čísel na náměstí vyzkoušet tento koncept. Nezapomeňte, že montáž čísla na náměstí znamená, že toto číslo by se měly množit. To lze provést i pro negativní čísla. V tomto případě bude výsledek vždy pozitivní. Například: -8 = -8 × -8 = 64.

Obrázek s názvem Řešení čtverečních kořenových problémů krok 2

2. Pokud jde o čtvercové kořeny, pak je tu reverzní proces budování čtverce. Symbol kořene (√, je také nazýván radikálem) v podstatě znamená opak symbolu . Když vidíte radikál, musíte se zeptat sami sebe: "Jaké číslo může být vynásobeno samo o sobě, aby získal číslo pod kořenem?". Například, pokud vidíte √ (9), pak musíte najít číslo, které, když jsme na náměstí, by dali číslo devět. V našem případě bude toto číslo tři, protože 3 = 9.

Zvažte další příklad a najděte kořen 25 (√ (25)). To znamená, že musíme najít číslo, které by nám dalo 25, když jsme na druhou. Protože 5 = 5 × 5 = 25, můžeme říci, že √ (25) = 5.

Můžete si to také představit jako „zrušení“ kvadratury. Například pokud potřebujeme najít √ (64), druhou odmocninu 64, uvažujme o tomto čísle jako 8. Protože kořenový symbol „ruší“ druhou mocninu, můžeme říci, že √ (64) = √ (8) = 8.

Obrázek s názvem Řešení problémů s odmocninou Krok 3

3. Znát rozdíl mezi dokonalým a nedokonalým čtvercem. Doposud byly odpovědi na naše problémy s rootem dobré a kulaté, ale ne vždy tomu tak je. Odpovědi na druhou odmocninu mohou být velmi dlouhá a nepříjemná desetinná čísla. Čísla, jejichž kořenem jsou celá čísla (jinými slovy čísla, která nejsou zlomky), se nazývají dokonalé čtverce. Všechny výše uvedené příklady (9, 25 a 64) jsou perfektní čtverce, protože jejich kořen bude celé číslo (3,5 a 8).

Na druhou stranu čísla, která, když se vezmou do kořene, nedávají celé číslo, se nazývají neúplné čtverce. Pokud dáte jedno z těchto čísel pod kořen, získáte číslo s desetinným zlomkem. Někdy může být toto číslo poměrně dlouhé. Například √ (13) = 3,605551275464...

Obrázek s názvem Řešení problémů s druhou odmocninou Krok 4

4. Zapamatujte si prvních 1–12 úplných čtverců. Jak jste si již pravděpodobně všimli, nalezení kořene celého čtverce je docela snadné! Vzhledem k tomu, že tyto úkoly jsou tak jednoduché, stojí za to připomenout kořeny prvních desítek úplných čtverců. Na tato čísla narazíte více než jednou, takže si udělejte trochu času na to, abyste si je včas zapamatovali a ušetřili čas v budoucnu.

1 = 1 × 1 = jeden

2 = 2 × 2 = 4

3 = 3 × 3 = devět

4 = 4 × 4 = šestnáct

5 = 5 × 5 = 25

6 = 6 × 6 = 36

7 = 7 × 7 = 49

8 = 8 × 8 = 64

9 = 9 × 9 = 81

10 = 10 × 10 = 100

11 = 11 × 11 = 121

12 = 12 × 12 = 144

Obrázek s názvem Řešení problémů s odmocninou Krok 5

Pět. Zjednodušte kořeny odstraněním plných čtverců, pokud je to možné. Najít kořen neúplného čtverce může být někdy složité, zvláště pokud nepoužíváte kalkulačku (několik triků, jak tento proces usnadnit, najdete níže v části). Číslo pod kořenem však můžete často zjednodušit, abyste s ním mohli snáze pracovat. Chcete-li to provést, stačí faktorovat číslo pod kořenem a poté najít kořen faktoru, což je perfektní čtverec, a napsat jej mimo kořen. Je to jednodušší, než to zní. Přečtěte si další informace.

Řekněme, že musíme najít druhou odmocninu 900. Na první pohled to vypadá jako docela skličující úkol! Nebude to však tak těžké, pokud číslo 900 rozdělíme podle faktorů. Multiplikátory jsou čísla, která se navzájem vynásobí, čímž se získá nové číslo. Například číslo 6 lze získat vynásobením 1 × 6 a 2 × 3, jeho faktory budou čísla 1, 2, 3 a 6.

Místo toho, abychom hledali kořen 900, což je trochu komplikované, napíšeme 900 jako násobení 9 × 100. Nyní, když je 9, což je dokonalý čtverec, odděleno od 100, můžeme najít jeho kořen. √ (9 × 100) = √ (9) × √ (100) = 3 × √ (100). Jinými slovy, √ (900) = 3√ (100).

Můžeme jít ještě dále vydělením 100 dvěma faktory, 25 a 4. √ (100) = √ (25 × 4) = √ (25) × √ (4) = 5 × 2 = 10. Můžeme tedy říci, že √ (900) = 3 (10) = 30

Obrázek s názvem Řešení problémů s druhou odmocninou Krok 6

6. Pomocí imaginárních čísel vyhledejte kořen záporného čísla. Zeptejte se sami sebe, jaké číslo po vynásobení samo o sobě dá -16? To není 4 a ne -4, protože druhou mocninou těchto čísel získáme kladné číslo 16. Vzdal se? Ve skutečnosti neexistuje způsob, jak zapsat kořen -16 nebo jiné záporné číslo do běžných čísel. V tomto případě musíme nahradit imaginární čísla (obvykle ve formě písmen nebo symbolů) tak, aby se objevila místo kořene záporného čísla. Například proměnná "i" se obvykle používá k vykořenění čísla -1. Kořenem záporného čísla bude zpravidla vždy imaginární číslo (nebo v něm obsažené).

Uvědomte si, že ačkoli imaginární čísla nelze představovat běžnými čísly, lze s nimi zacházet jako s takovými. Například druhou odmocninu záporného čísla lze umocnit na druhou, abychom těmto záporným číslům dali, stejně jako ostatním, druhou odmocninu. Například i = -jeden

Část 2 ze 3:

Pomocí algoritmu dlouhého dělení

jeden. Napište problém typu root jako problém s dlouhým dělením. I když to může být docela časově náročné, můžete tímto způsobem vyřešit neúplný problém s druhou odmocninou, aniž byste se uchýlili k kalkulačce. K tomu použijeme metodu řešení (nebo algoritmus), která je podobná (ale ne úplně stejná) jako běžné dlouhé dělení.

Nejprve si zapište problém s rootem ve stejné formě jako u dlouhého dělení. Předpokládejme, že chceme najít druhou odmocninu 6,45, což není úplně dokonalý čtverec. Nejprve napíšeme obvyklý čtvercový symbol a potom pod něj napíšeme číslo. Dále nakreslíme čáru nad číslo tak, aby se zobrazovalo v malém „rámečku“, stejně jako při dělení sloupcem. Poté dostaneme kořen s dlouhým ocasem a pod ním číslo 6,45.
Budeme psát čísla nad kořenový adresář, takže tam nechte místo.

Obrázek s názvem Řešení problémů s druhou odmocninou Krok 8

2. Seskupte čísla do párů. Aby bylo možné začít řešit problém, je nutné seskupit číslice čísla pod radikál v párech, počínaje desetinnou čárkou. Pokud chcete, můžete mezi dvojicemi udělat malé značky (jako tečky, šikmé čáry, čárky atd.), Abyste se nenechali zmást.

V našem příkladu musíme spárovat číslo 6.45 následovně: 6-, 45-00. Vezměte prosím na vědomí, že vlevo je „zbývající“ číslice - to je normální.

Obrázek s názvem Řešení problémů s druhou odmocninou Krok 9

3. Najděte největší číslo, jehož čtverec je menší nebo roven první „skupině“. Začněte prvním číslem nebo dvojicí vlevo. Vyberte největší číslo, jehož čtverec je menší nebo roven zbývající „skupině“. Například pokud měla skupina 37, vybrali byste číslo 6, protože 6 = 36 < 37> 37. Napište toto číslo do první skupiny. Toto bude první číslice vaší odpovědi.

V našem příkladu bude první skupina na 6, 45-00 číslo 6. Největší počet na druhou, menší nebo rovný 6, je 2 = 4. Napište číslo 2 nad číslo 6 pod kořen.

Obrázek s názvem Řešení problémů s odmocninou Krok 10

4. Zdvojnásobte číslo, které jste právě napsali, poté jej zakořente a odečtěte. Vezměte první číslici své odpovědi (číslo, které jste právě našli) a zdvojnásobte ji. Zapište si výsledek do své první skupiny a odečtěte, abyste našli rozdíl. Umístěte další pár čísel vedle odpovědi. Nakonec napište nalevo poslední číslici zdvojnásobení první číslice vaší odpovědi a ponechte vedle ní mezeru.

V našem příkladu začneme zdvojnásobením čísla 2, což je první číslo v naší odpovědi. 2 × 2 = 4. Potom odečteme 4 od 6 (naše první „skupina“) a dostaneme 2. Dále vynecháme další skupinu (45), abychom získali 245. A nakonec nalevo znovu napíšeme číslo 4 a na konci ponecháme malé místo, například: 4_

Obrázek s názvem Řešení problémů s druhou odmocninou Krok 11

Pět. Vyplňte mezeru. Poté musíte přidat číslici na pravou stranu psaného čísla, která je vlevo. Vyberte číslici a vynásobte ji tím, že svým novým číslem získáte největší možný výsledek, ale která bude menší nebo rovna „vynechanému“ číslu. Například pokud je vaše „vynechané“ číslo 1700 a vaše číslo vlevo je 40_, musíte do mezery napsat číslo 4, protože 404 × 4 = 1616 < 1700>

V našem příkladu musíme najít číslo a zapsat jej do mezer 4_ × _, čímž bude odpověď co největší, ale stále menší nebo rovna 245. V našem případě je to číslo 5. 45 x 5 = 225, zatímco 46 x 6 = 276

Obrázek s názvem Řešení problémů s druhou odmocninou Krok 12

6. Stále používejte prázdná čísla, abyste našli odpověď. Pokračujte v řešení tohoto upraveného dlouhého dělení, dokud nezačnete dostávat nuly, když odečtete „vynechané“ číslo, nebo dokud nedosáhnete požadované úrovně přesnosti. Až budete hotovi, čísla, která jste použili k vyplnění prázdných míst v každém kroku (plus první číslo), budou tvořit číslo ve vaší odpovědi.

V pokračování našeho příkladu odečteme 225 od 245 a dostaneme 20. Potom vynecháme další dvojici čísel, abychom dostali 2000. Zdvojnásobte číslo nad znaménkem root. Dostaneme 25 × 2 = 50. Řešení příkladu s mezerami, 50_ × _ = /< 2>

Obrázek s názvem Řešení problémů s druhou odmocninou Krok 13

7. Přesuňte desetinnou čárku dopředu z původního čísla dividendy. Chcete-li dokončit svou odpověď, musíte umístit desetinnou čárku na správné místo. Naštěstí je to docela snadné. Vše, co musíte udělat, je zarovnat jej s původním číselným bodem. Pokud je například číslo 49,8 pod kořenem, budete muset mezi oběma čísly nad devítkou a osmi dát tečku.

V našem příkladu je pod radikálem 6,45, takže tečku jednoduše přesuneme a v odpovědi dáme mezi čísla 2 a 5 a dostaneme odpověď rovnou 2,539.

Část 3 ze 3:

Počítání neúplných čtverců rychle

jeden. Najděte neúplné čtverce jejich spočtením. Když si zapamatujete celé čtverce, bude hledání kořenů neúplných čtverců mnohem snazší. Jelikož již znáte tucet dokonalých čtverců, lze každé číslo, které spadá do oblasti mezi těmito dvěma úplnými čtverci, najít snížením všeho na hrubý počet mezi těmito hodnotami. Začněte tím, že najdete dva úplné čtverečky, mezi nimiž je vaše číslo. Poté určete, ke kterému z těchto čísel je vaše číslo blíže.

Předpokládejme například, že musíme najít druhou odmocninu 40. Protože jsme si zapamatovali perfektní čtverce, můžeme říci, že číslo 40 je mezi 6 a 7, nebo čísla 36 a 49. Protože 40 je větší než 6, jeho kořen bude větší než 6 a protože je menší než 7, jeho kořen bude také menší než 7. 40 je trochu blíže k 36 než 49, takže odpověď bude pravděpodobně trochu blíže k 6. V následujících několika krocích svou odpověď zúžíme.

Obrázek s názvem Řešení problémů s odmocninami Krok 15

2. Spočítejte druhou odmocninu na jedno desetinné místo. Poté, co vyberete dva úplné čtverečky, mezi kterými je vaše číslo, vše se sníží na váš počet, dokud nezískáte požadovanou odpověď. Čím více spočítáte, tím přesnější bude vaše odpověď. Začněte výběrem místa, kam ve své odpovědi umístíte desetinnou čárku. Nemusí to být správné, ale ušetříte čas, pokud použijete logiku a skončíte co nejblíže správné odpovědi.

V našem příkladu by rozumný odhad druhé odmocniny 40 mohl být 6,4, protože z výše uvedených informací víme, že odpověď je blíže 6 než 7.

Obrázek s názvem Řešení problémů s druhou odmocninou Krok 16

3. Vynásobte přibližné číslo samo o sobě. Další věc, kterou byste měli udělat, je umocnit přibližné číslo na druhou. Pravděpodobně budete mít smůlu a nedostanete původní číslo. Bude buď o něco větší, nebo o něco menší. Pokud je váš výsledek příliš velký, zkuste to znovu, ale s mírně nižším přibližným číslem (a naopak, pokud je výsledek příliš nízký).

Vynásobte 6,4 samostatně a získáte 6,4 x 6,4 = 40,96, což je o něco více než původní číslo.

Protože se naše odpověď ukázala být větší, musíme vynásobit číslo o jednu desetinu méně přibližným a získat následující: 6,3 × 6,3 = 39,69. To je o něco méně než původní číslo. To znamená, že druhá odmocnina 40 je mezi 6,3 a 6,4. Opět platí, že protože 39,69 je blíže 40 než 40,96, víme, že druhá odmocnina bude blíže 6,3 než 6,4.

Obrázek s názvem Řešení problémů s druhou odmocninou Krok 17

4. Pokračujte ve výpočtu. V tomto okamžiku, pokud jste spokojeni se svou odpovědí, můžete jednoduše provést první odhad. Chcete-li však získat přesnější odpověď, stačí zvolit přibližnou hodnotu se dvěma desetinnými místy, která tuto přibližnou hodnotu vloží mezi první dvě čísla. Pokračováním v tomto počtu můžete za svou odpověď získat tři, čtyři nebo více desetinných míst. Vše záleží na tom, jak daleko chcete zajít.

V našem příkladu vybereme 6,33 jako přibližnou hodnotu se dvěma desetinnými místy. Vynásobte 6,33 samostatně a získejte 6,33 x 6,33 = 40,0689. protože toto je o něco větší než naše číslo, vezmeme menší číslo, například 6,32. 6,32 × 6,32 = 39.9424. Tato odpověď je o něco menší než naše číslo, takže víme, že přesná druhá odmocnina je mezi 6,32 a 6,33. Pokud bychom chtěli pokračovat, budeme i nadále používat stejný přístup k získání odpovědi, která bude čím dál přesnější.

Tipy

Chcete-li rychle najít řešení, použijte kalkulačku. Většina moderních kalkulaček dokáže okamžitě najít druhou odmocninu čísla. Vše, co musíte udělat, je zadat vaše číslo a poté kliknout na tlačítko se znaménkem root. Chcete-li například najít kořen 841, musíte stisknout 8, 4, 1 a (√). V důsledku toho obdržíte odpověď 39.