Jak zjistit, zda nekonečné řady konverguje: 4 kroky

Nekonečné numerické řádky často vedou k záměně a děsí, protože jsou velmi těžké si představit duševně. Na první pohled je obtížné říci, s konverguje nebo ne, několik stoletími, odpověď na takovou otázku bude trvat mnoho hodin. Nicméně, v naší době, díky úsilí mnoha výjimečných matematiků, máme sadu jednoduchých technik, snadno umožňující vyřešit úkol. Tyto techniky jsou určeny k získání reakce na otázku, počet konverguje nebo ne, a nikoli jeho součet. Chcete-li jim porozumět, měli byste také vlastnit základy výpočetní techniky.

Kroky

jeden. Implementovat předběžnou kontrolu. Tam je jednoduchá věta, která uvádí, že pokud nekonečný součet funkce f konverges, limit funkce f je 0. Pokud tedy máme funkci x ^ 2, pak nemá limit, a jeho součet nesouhlasí s nekonečna, na druhé straně je limit funkce 1 / x je 0, takže jeho částka se může konvergovat. Pokud limit není roven nule, víme, že se řada se liší. POZOR: Opak není pravdivý, to znamená, že limit je nula, neznamená, že číslo nutně konverguje. V tomto případě je nutné další ověření.

Obrázek s názvem Určete, zda nekonečná řada konverguje krok 2

2. Geometrické řádky. Pro tyto řádky existuje velmi jednoduché pravidlo, takže především určete, zda je vaše řada geometrická. Geometrická řada je posloupnost čísel, z nichž každý člen může být reprezentován jako R ^ K, kde K je proměnná a R je číslo v rozsahu mezi -1 a 1. Geometrické řady se vždy souhlasí. Kromě toho můžete snadno určit množství takového řádku, který je roven 1 / (1-R).

Obrázek s názvem Napsat vánoční Přehrát krok 4

3. Zobecněné harmonické řady nebo Dirichlet. Takové číslo se nazývá součet funkcí formuláře 1 / (x ^ p), kde x je libovolné číslo. Věta pro tyto série uvádí, že pokud je P je větší než jednotka, série se konverguje, pokud p je menší nebo rovná jedné, řady se liší. To znamená, že výše uvedená řada 1 / X se rozptýlí, protože může být reprezentována jako 1 / (x ^ 1), kde p = 1. Tato série se nazývá harmonická. Číslo 1 / (x ^ 2) konverguje, AS 2 další 1.

4. Jiné řádky. Pokud číslo nepatří do jednoho z výše uvedených typů, použijte níže uvedené metody níže. Pokud jedna metoda nepomůže, použijte následující, protože není vždy jasné, které by si měl vybrat. Ačkoli neexistují žádná jednoznačná pravidla, časem se můžete lépe navigovat při výběru požadované metody.

Srovnávací metoda. Předpokládejme, že máte dvě řádky sestávající z pozitivních členů, a (n) a b (n). Pak: 1) Pokud konverguje nekonečná součet B (n), a (n) je menší než b (n) (pro všechny dostatečně velké n), pak je součet a (n) také konvergován, 2), pokud b ( n) rozptýlení a (n)> b (n), pak a (n) také se liší. Například máte řadu 2 / X- můžeme porovnat s téměř 1 / x. Vzhledem k tomu, že již víme, že série 1 / X se rozbíhá a 2 / x> 1 / X, následuje, že číslo 2 / x také rozptýlí. Myšlenka metody je tedy zjistit, zda je série sbalena nebo ne, pomocí již známé série. Obrázek s názvem Určete, zda infinite série konverguje krok 4bullet1

Obrázek s názvem Určete, zda infinite série konverguje krok 4bullet1

Metoda srovnávacích limitů. Pokud A (n) a b (n) jsou řádky kladných čísel, a pokud je limit A (n) / b (n), který je větší než 0, pak oba řádky buď sbíhají nebo se liší. V tomto případě je řada ve studiu ve srovnání se známou metodou, je způsob zvolit známou sérii, jehož maximální stupeň odpovídá stupni série ve studiu. Například, pokud zvažujete sérii 1 / (x ^ 3 + 2x + 1), má smysl porovnat s téměř 1 / (x ^ 3). Obrázek s názvem Určete, zda nekonečná série konverguje krok 4bullet2

Obrázek s názvem Určete, zda nekonečná série konverguje krok 4bullet2

Kontrola integrálu. Pokud je funkce větší než nula, nepřetržitá a snižuje se na hodnotách x více než nebo rovná 1, pak nekonečná řada f (n) konverguje, pokud existuje určitý integrál z 1 do nekonečna z funkce f (x) a má Konečný význam - jinak se řada liší. Je tedy dostačující pro integraci funkce a najít limit pro X, hledám nekonečno: Pokud je limit konečný, série se konverguje, pokud je limit roven nekonečnu, rozbíhá se řádek. Obrázek s názvem Určete, zda infinite série konverguje krok 4bullet3

Obrázek s názvem Určete, zda infinite série konverguje krok 4bullet3

Signaged Rovny. Pokud A (K)> A (K + 1)> 0 v dostatečně velkém K a limitu A (n) je 0, pak alternativní série (-1) ^ n a (n) konverguje. Jednoduše řečeno, řekněme, že vaše řada je významný (to znamená, že jeho členové jsou střídavě pozitivní a negativní) - v tomto případě hodit alternativní část funkce a najít limit toho, co zůstane - pokud je limit konečný, Sériové konverguje.

Metoda vztahu. Pokud je podávána nekonečná řada A (n), vyhledejte následující člen řádku A (n + 1). Poté spočítejte poměr následujícího členu na předchozí A (n + 1) / A (n), pokud je to nutné, přičemž jeho absolutní hodnotu. Najděte limit tohoto vztahu, když n usilování o nekonečno, pokud existuje tento limit a je konečný, to znamená následující: 1) Pokud je limit menší než jeden, sériová řada konverguje - 2) Pokud je limit větší než jednotka, Řádek je oddělen jedním) Pokud je limit roven jedné, tento způsob je nedostatečný (číslo může být konvergováno a rozptýleno).

Jedná se o hlavní metody pro stanovení konvergence řádků a jsou velmi užitečné. Pokud žádný z nich nepomohl, je pravděpodobné, že úkol nemá řešení, nebo jste někde udělali chybu. Tyto metody mohou být také použity pro jiné řádky, jako jsou napájecí řádky, taylorovy řádky a t.D. Držení těchto metod je obtížné přeceňovat, protože jinými jednoduchými způsoby určení konvergence čísla neexistuje.

Tipy

Vždy vyhledejte limit a zkontrolujte, zda se vaše série neplatí pro geometrické nebo generalizované harmonické řádky před použitím metody srovnání. To vám umožní ušetřit spoustu času a úsilí.

Varování

Nesnažte se vyřešit nějaký úkol pomocí kalkulačky.