Jak vzít derivát v matematické analýze

Funkce derivace může být použita pro získání užitečných informací o grafice, například zjistit pozici maxima, minima, vrcholů, deprese a naklonění. Můžete je dokonce použít k vybudování komplexních rovnic na harmonogramu bez aplikace grafické kalkulačky! Bohužel, nalezení derivátu může být únavný úkol, ale tento článek vám pomůže naučit se některé techniky a obratnosti.

Kroky

jeden. Podívejte se na derivaci formuláře. Následující dvě formy označení jsou nejčastější, ale na wikipedii můžete najít obrovské množství druhých Tady.

Označení Leibnitsa. Toto označení je nejčastější v případech, kdy funkce zahrnuje Y a X. Dy / DX doslova znamená "derivát y vzhledem k x."Je vhodné prezentovat derivát ve formě nekonečně malého rozdílu ΔY / Δx. Toto vysvětlení je důsledkem určení derivátu přes limit: lim_{H-> 0} (f (x + h) -f (x)) / h. Pomocí tohoto označení pro druhý derivát musíte napsat: DY / DX.
Lagrange označení. Funkce derivace může být také napsána jako f `(x). Toto označení je čteno jako "F Barcode z X". Toto označení je kratší než označení leibrity, je užitečné při zvažování derivátu jako funkce. Chcete-li vytvořit deriváty vyšších objednávek, jednoduše přidat do "F" New "`". Druhý derivát bude zobrazen f `` (x).

Obrázek s názvem Deriváty v počtu kroku 2

2. Zjistěte, co je derivát a proč je potřeba. Za prvé, najít sklon přímé závislosti, jsou na lince přijata dva body a jejich souřadnice jsou nahrazeny do rovnice (y₂ - y_jeden) / (X₂ - X_jeden). Lze však použít pouze pro lineární závislosti. Pro kvadratické závislosti a nad linkou bude křivka, takže definice "Rozdíl" dvou bodů nemůže být přesná. Chcete-li najít táhlo vlečení k křivočinné grafice, jsou odebrány dva body, které jsou substituovány do standardní rovnice pro stanovení tečna prořezávání k křivce: [F (X + DX) - F (x)] / DX. DX znamená "delta x", což je rozdíl mezi dvěma souřadnicemi harmonogramu. Upozorňujeme, že tento výraz je podobný (y₂ - y_jeden) / (X₂ - X_jeden), jen v jiné podobě. Vzhledem k tomu, že je již známo, že výsledek nebude přesný, použije se nepřímý přístup. Chcete-li najít tažení náklonu v bodě (X, F (X)), DX by se měl usilovat o 0, takže dva vybrané body jsou naživu v jednom. Nicméně, nemůžeme rozdělit 0, tedy nahrazení obou hodnot bodu souřadnic, budete muset rozšířit výraz na multiplikátoři a používat jiné metody pro snížení DX v dolní části výrazu. Udělal to, přijměte DX = 0 a vyřešte rovnici. To bude úhel sklonu v bodě (x, f (x)). Derivace výrazu je obecný výraz pro nalezení sklonu jakékoli tečny k harmonogramu. Může se zdát velmi obtížné, ale několik příkladů uvedených níže vám pomůže pochopit proces hledání derivátu.

Metoda 1 z 4:

Diferenciace explicitních funkcí

jeden. Použijte diferenciaci explicitních funkcí, když je váš výraz již Y, který je umístěn v jedné části.

Obrázek s názvem Deriváty v Calculus kroku 4

2. Nahraďte expresi [F (X + DX) - F (X)] / DX. Například, pokud má vaše rovnice formulář Y = X, derivace bude zobrazen [(X + DX) - X] / DX.

Obrázek s názvem Deriváty v počtu kroku 5

3. Otevřené držáky a pak vykreslen DX na držáky, získávání rovnice [DX (2x + DX)] / DX. Nyní můžete zkrátit dva DXS v horních a dolních částech zlomku. V důsledku toho obdržíte 2x + DX, a když DX má tendenci na 0, pak derivát je 2x. To znamená, že sklon jakékoliv tečny k grafu Y = X je 2x. Stačí nahradit hodnotu bodu X, ve kterém chcete najít svah.

4. Prozkoumejte schémata nalezení derivačních funkcí tohoto typu. Níže jsou některé z nich.

Derivace výkonové funkce se rovná produktu stupně a důvodu do stupně na jednotku. Například derivát Xhanne 5x a derivát X se rovná 3.5x. Pokud před X již mají číslo, jen vynásobte do stupně. 3x derivát je například 12x.

Derivace libovolného čísla se rovná 0. Jinými slovy, derivát 8 se rovná 0.

Odvozená částka je součtem jednotlivých derivátů. Derivát X + 3x je například 3x + 6x.

Derivace práce je produktem prvního faktoru na derivátu druhé plus produktu druhého faktoru na derivaci prvního. Například X (2x + 1) derivát je X (2) + (2x + 1) 3x, což je 8x + 3x.

Frakční derivát (say, f / g) je [g (derivát f) - f (derivát g)] / g. Například derivát (X + 2x - 21) / (X - 3) se rovná (X - 6x + 15) / (X - 3).

Metoda 2 ze 4:

Diferenciace implicitních funkcí

jeden. Použijte diferenciaci implicitně vyjádřených funkcí, když Y na jedné straně nelze přidělit ve vašem výrazu. I když jste byli schopni jej nahrát s y v jedné části, výpočet dy / dx bude objemný. Níže jsou uvedeny příklady nalezení derivátu pro výrazy tohoto typu.

Obrázek s názvem Deriváty v Calculus Krok 8

2. V tomto příkladu: xy + 2Y = 3x + 2Y, vyměňte y na f (x), abyste si pamatovali, že y je vlastně funkce. Výraz bude mít formu XF (X) + 2 [F (x)] = 3x + 2F (x).

Obrázek s názvem Vezměte deriváty v Calculus Krok 9

3. Najít derivaci tohoto výrazu, lhostejný (inteligentní slovo význam najít derivát) obě strany rovnice x. Výraz se stane XF `(x) + 2xf (x) + 6 [f (x)] f` (x) = 3 + 2f `(x).

4. Znovu vyměňte f (x) na y. Buďte opatrní a neudělejte stejný pro f `(x), lišící se od f (x).

Obrázek s názvem Deriváty v Calculus Krok 11

Pět. Najít f `(x). Odpověď na tento příklad má formulář (3 - 2xy) / (x + 6y - 2).

Metoda 3 ze 4:

Deriváty vyššího řádu

jeden. Proveďte funkci derivátu s nejvyšší objednávkou, abyste mohli derivátový derivát (v případě pořadí rovného 2). Například, pokud budete požádáni o odvolání derivátu třetího řádu, jednoduše odvozte derivační derivát derivace. Pro některé výrazy vezmou deriváty s vysokým řádem nulovou hodnotu.

Metoda 4 ze 4:

Pravidlo řetězce

jeden. Pokud Y je diferencovatelná funkce Z, a Z - diferencovatelná funkciX, Y je komplexní funkce x a Y do X (DY / DX) derivát (DY / DX) * (DY / DX). Pravidlo řetězu také odkazuje na komplexní výrazy napájení, například: (2x - x). Chcete-li najít derivát, jednoduše použít pravidlo výrobku. Vynásobte výraz ve stupni a snižte stupeň za jednotku. Pak násobit výraz na základním derivátu (v našem případě je to 2x ^ 4 - x). Odpověď na tento příklad vypadá takto: 3 (2x - x) (8x - 1).

Tipy

Když vidíte, že potřebujete vyřešit jen obrovský příklad - nebojte se. Rozbít to co nejvíce nejmenších kusů, uplatňování pravidel práce, frakcí a t.D. Poté pokračujte v rozlišení jednotlivých částí.
Praxe používat pravidla práce, frakcí, řetězů a zejména - diferenciace funkcí v implicitní formě, protože jsou velmi složité části matanalýzy.
Budete používat kalkulačku - zkuste použít různé funkce kalkulačky, abyste zjistili jeho schopnosti. Zvláště užitečné znát funkce tečny a derivátu, pokud jsou ve vaší kalkulačce.
Vzpomeňte si na deriváty hlavních trigonometrických funkcí a jak je kontaktovat.

Varování

Nezapomeňte, že při použití pravidel společnosti RULI před f (derivát g) je provedena znaménkem mínus - jedná se o společnou chybu a zapomenutí, dostanete nesprávnou odpověď.