Jak vytvořit graf čtvercové rovnice: 10 kroků

Harmonogram čtvercové rovnice AX + BX + C nebo A (X - H) + K je parabola (křivka ve tvaru písmene U). Chcete-li vytvořit graf takové rovnice, je nutné najít horní část paraboly, jeho směru a průsečíky s osami X a Y. Pokud máte relativně jednoduchou čtvercovou rovnici, můžete nahradit různé hodnoty "X", najít odpovídající hodnoty "Y" a vybudovat plán.

Kroky

jeden. Čtvercová rovnice může být zaznamenána ve standardním tvaru a nestandardní formě. Můžete použít jakýkoliv druh rovnice pro konstrukci čtvercové rovnice grafiky (stavební metoda je mírně odlišná). Zpravidla v úkolech jsou čtvercové rovnice uvedené ve standardní podobě, ale tento článek vám řekne o obou typech záznamu čtvercové rovnice.

Standardní pohled: f (x) = sekera + bx + c, kde a, b, c - platná čísla a ≠ 0.

Například dvě standardní rovnice: f (x) = x + 2x + 1 a f (x) = 9x + 10x -8.

Standardní pohled: F (x) = A (X - H) + K, kde A, H, K - platná čísla a ≠ 0.

Například dvě nestandardní rovnice: f (x) = 9 (x - 4) + 18 a -3 (x - 5) + 1.

Vybudovat graf čtvercové rovnice jakéhokoliv druhu, nejprve potřebujete najít Pearabol vertex, který má souřadnice (H, K). Souřadnice perabolových vrcholů ve standardním zobrazení rovnic se vypočítají pomocí vzorců: H = -B / 2A a k = f (h) - souřadnice peepolového vrcholu v rovnicích nestandardních druhů lze získat přímo od rovnice.

Obrázek s názvem graf kvadratická rovnice Krok 2

2. Chcete-li vytvořit graf, je nutné najít číselné hodnoty koeficientů A, B, C (nebo A, H, K). Ve většině úkolů jsou čtvercové rovnice dány s číselnými hodnotami koeficientů.

Například ve standardní rovnici F (x) = 2x + 16x + 39 A = 2, B = 16, C = 39.

Například v nestandardní rovnici F (x) = 4 (X - 5) + 12, A = 4, H = 5, K = 12.

Obrázek s názvem graf kvadratická rovnice Krok 3

3. Vypočítat H ve standardní rovnici (v nestandardním je již uvedeno) podle vzorce: H = -b / 2a.

V našem příkladu standardní rovnice f (x) = 2x + 16x + 39 h = -b / 2A = -16/2 (2) = -4.

V našem příkladu nestandardní rovnice (x) = 4 (X - 5) + 12 H = 5.

Obrázek s názvem graf kvadratická rovnice Krok 4

4. Vypočítat K ve standardní rovnici (v nestandardním je již uvedeno). Nezapomeňte, že k = f (h), to znamená, že můžete najít k, nahrazení nalezené hodnoty h v původní rovnici namísto "x".

Zjistil jste, že H = -4 (pro standardní rovnici). Pro výpočet K, nahraďte tuto hodnotu namísto "X":

k = 2 (-4) + 16 (-4) + 39.

k = 2 (16) - 64 + 39.

k = 32 - 64 + 39 = 7

V nestandardní rovnici k = 12.

Obrázek s názvem graf kvadratická rovnice Krok 5

Pět. Použijte vrchol se souřadnicemi (H, K) na souřadnicové rovině. H je odložen podél osy X a K - podél osy Y. Horní část parabola je buď nejnižší bod (pokud je parabola zaměřena nahoru), nebo horní bod sám (pokud je parabola směřuje dolů).

V našem příkladu standardní rovnice má vrchol souřadnice (-4, 7). Použijte tento bod na souřadnicové rovině.

V našem příkladu nestandardní rovnice má vrchol (5, 12) souřadnice (5, 12). Použijte tento bod na souřadnicové rovině.

Obrázek s názvem graf kvadratická rovnice Krok 6

6. Strávit osu symetrie paraboly (volitelné). Osa symetrie prochází vrcholem paraboly paralelně s osou y (to je přísně svisle). Osa symetrie rozděluje parabolu na polovinu (to je parabola je zrcadlová symetrická o této ose).

V našem příkladu standardní rovnice je osa symetrie rovnou, paralelní osou Y a procházející bodem (-4, 7). I když je to přímé a není součástí samotné paraboly, dává představu o symetrii paraboly.

Obrázek s názvem graf kvadratická rovnice Krok 7

7. Určete směr parabola - nahoru nebo dolů. Je to velmi snadné. Pokud je koeficient "A" pozitivní, pak se parabola směřuje nahoru, a pokud je koeficient "A" negativní, pak se parabola směřuje dolů.

V našem příkladu standardní rovnice f (x) = 2x + 16x + 39 parabola je zaměřen nahoru, protože A = 2 (kladný koeficient).

V našem příkladu nestandardní rovnice F (X) = 4 (X - 5) + 12 parabola je také zaměřeno nahoru, protože A = 4 (kladný koeficient).

Obrázek s názvem graf kvadratická rovnice Krok 8

osm. Pokud je to nutné, vyhledejte a aplikujte průsečíkové body s osou X. Tyto body vám pomohou na výstavbě paraboly. Může být dva, jeden nebo ne jeden (pokud je parabola směřuje nahoru, a jeho vrchol je nad osou x, nebo pokud je parabola nasměrována dolů a jeho pík je pod osou x). Chcete-li vypočítat souřadnice průsečíků s osou, postupujte takto:

Odpovídá rovnici k nulu: f (x) = 0 a rozhodněte se. Tato metoda pracuje s jednoduchými čtvercovými rovnicemi (zejména nestandardní druhy), ale mohou být velmi obtížné v případě složitých rovnic. V našem příkladu:

f (x) = 4 (x - 12) - 4

0 = 4 (X - 12) - 4

4 = 4 (X - 12)

1 = (x - 12)

√1 = (x - 12)

+/ -1 = x -12. Bod křižovatky paraboly s osou x mají souřadnice (11,0) a (13,0).

Šíření čtvercové rovnice standardního formuláře na multiplikátiři: sekeru + bx + c = (dx + e) (fx + g), kde dx × fx = sekera, (dx × g + fx × e) = bx, e × g) = C. Pak vyrovnat každý bicker na 0 a najít hodnoty "x". Například:

X + 2x + 1

= (x + 1) (x + 1)

V tomto případě existuje jeden bod průsečíku paraboly s osou X s souřadnicemi (-1,0), protože při X + 1 = 0 x = -1.

Pokud nemůžete dekomovat rovnici pro multiplikátoři, rozhodněte se s pomocí vzorce pro výpočet kořenů čtvercové rovnice: X = (-B +/- √ (B - 4AC)) / 2A.

Například: -5x + 1x + 10.

X = (-1 +/- √ (1 - 4 (-5) (10)) / 2 (-5)

X = (-1 +/- √ (1 + 200) / - 10

X = (-1 +/- √ (201) / - 10

X = (-1 +/- 14,18) / - 10

X = (13,18 / -10) a (-15,18 / -10). Bod průsečíku parabola s osou x mají souřadnice (-1,318,0) a (1,518,0).

V našem příkladu standardu 2x + 16x + 39 rovnic:

X = (-16 +/- √ (16 - 4 (2) (39)) / 2 (2)

X = (-16 +/- √ (256 - 312)) / 4

X = (-16 +/- √ (-56) / - 10

Vzhledem k tomu, že není možné extrahovat druhou odmocninu z negativního čísla, pak v tomto případě se parabola neprokázala osu X.

Obrázek s názvem graf kvadratická rovnice Krok 9

devět. Pokud je to nutné, vyhledejte a aplikujte průsečíkové body s osou Y. Je velmi snadný - náhradník X = 0 k původní rovnici a najít hodnotu "Y". Křižovatka s osou Y je vždy sám. Poznámka: Ve standardním zobrazení rovnic má křižovatka souřadnice (0, C).

Například parabola čtvercová rovnice 2x + 16x + 39 protínájí s osou y v bodě s souřadnicemi (0, 39), protože c = 39. Ale lze jej vypočítat:

f (x) = 2x + 16x + 39

f (x) = 2 (0) + 16 (0) + 39

F (x) = 39, to znamená parabola této čtvercové rovnice protíná s osou y v bodě s souřadnicemi (0, 39).

V našem příkladu rovnice nestandardního druhu4 (X-5) + 12 se křižovatce s osou Y vypočítá následujícím způsobem:

f (x) = 4 (x - 5) + 12

f (x) = 4 (0 - 5) + 12

f (x) = 4 (-5) + 12

f (x) = 4 (25) + 12

f (x) = 112, tj. parabola této čtvercové rovnice protíná s osou y v bodě s souřadnicemi (0, 112).

Obrázek s názvem graf kvadratická rovnice Krok 10

10. Našli jste (a řešili) horní část paraboly, jeho směr a bodů průsečíku s osami x a y. Můžete vytvořit paraboly na tyto body nebo najít a použít další body a teprve pak vybudovat parabolu. Chcete-li to provést, nahraďte několik hodnot "X" (na obou stranách vrcholu) v původní rovnici pro výpočet odpovídajících hodnot "Y".

Vraťme se do X + 2x + 1 rovnice. Už víte, bod průsečíku harmonogramu této rovnice s osou X je bodem souřadnic (-1,0). Pokud má parabola pouze jeden bod průsečíku s osou x, pak je to horní část paraboly ležící na ose x. V tomto případě nestačí k vybudování pravé paraboly. Proto najdete několik dalších bodů.

Předpokládejme, že x = 0, x = 1, x = -2, x = -3.

X = 0: F (x) = (0) + 2 (0) + 1 = 1. Souřadnice bodů: (0,1).

X = 1: F (x) = (1) + 2 (1) + 1 = 4. Souřadnice bodů: (1.4).

X = -2: F (x) = (-2) + 2 (-2) + 1 = 1. Souřadnice bodů: (-2.1).

X = -3: F (x) = (-3) + 2 (-3) + 1 = 4. Souřadnice bodů: (-3.4).

Použijte tyto body na souřadnicové rovině a vybudujte parabolu (připojte pohledy křivky ve tvaru písmene U). Upozorňujeme, že parabola je absolutně symetrická - jakýkoliv bod na jedné větvi parabolů může být zrcadlena (vzhledem k ose symetrie) na jiné větvi paraboly. Tím budete ušetřit čas, protože nemusíte vypočítat souřadnice bodů na obou větvech paraboly.

Tipy

Kulatá frakční čísla (pokud je to požadavek učitele) - takže budujete správnou parabolu.
Pokud v F (x) = AX + BX + C koeficienty B nebo C jsou nulové, pak nejsou žádné členy s těmito koeficienty v rovnici. Například 12x + 0x + 6 se změní na 12x + 6, protože 0x je 0.