Jak rozložit vícejakkové polynomy (čtvercová rovnice)

Polynom obsahuje proměnnou (x), postavenou do stupně a několik členů a / nebo volných členů. Rozklad polynomů na multiplikáti - rozdělení do krátkých a jednoduchých polynomů, které se navzájem násobí. Schopnost šířit polynomu pro násobiče vyžaduje dostatečné matematické znalosti a dovednosti.

Kroky

Metoda 1 z 7:

Primární kroky

jeden. Zapište si rovnici. Standardní tvar čtvercové rovnice:

AX + BX + C = 0
Uspořádat členy začínající na nejvyšší pořadí. Zvažte příklad:

6 + 6x + 13x = 0
Dejte této rovnici standardní formy čtvercové rovnice (jednoduše změnou členských míst):

6x + 13x + 6 = 0

Obrázek s názvem Faktor Druhá stupeň Polynomials (kvadratické rovnice) Krok 2

2. Šíření multiplikátorů pomocí jednoho z níže uvedených metod. Rozklad polynomů na multiplikáti je rozdělení na krátké a jednoduché polynomy, které se navzájem násobí.

6x + 13x + 6 = (2x + 3) (3x + 2)
V tomto příkladu jsou láky (2x +3) a (3x + 2) multiplikátory původního polynomu 6x + 13x + 6.

Obrázek s názvem Faktor Druhá stupeň Polynomials (kvadratické rovnice) Krok 3

3. Podívejte se na práci vynásobením členy a přidávání stejných (podobných) členů.

(2x + 3) (3x + 2)

6x + 4x + 9x + 6

6x + 13x + 6

(Kde 4 a 9x jsou podobné členy). Proto jsme řádně rozložili polynom k multiplikátorům, protože s jejich násobením jsme obdrželi původní polynomiální.

Metoda 2 ze 7:

Řešení a řešení chyb

Pokud dostanete spíše jednoduchý polynom, můžete ho nezávisle rozložit na multiplikáti. Například zkušené matematici mohou okamžitě určit, jaký polynom 4x + 4x + 1 Má multiplikátory (2x + 1) a (2x + 1). (Poznámka, tato metoda nebude tak jednoduchá při rozkladu složitější polynom.) Zvažte příklad:

3x + 2x - 8

jeden. Zapište si pár faktorů koeficientů A a C. Použití vyjádření pohledu AX + BX + C = 0, Určete koeficienty A a C. V našem příkladu

A = 3 a multiplikátory: 1 * 3
C = -8 a multiplikátory: -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1, -1 * 8.

Obrázek s názvem Faktor Druhá stupeň Polynomials (kvadratické rovnice) Krok 5

2. Napište dva páry závorek s mezerami, jehož umístěte volné členy nalezeny:

(x) (x)

Obrázek s názvem Faktor Druhá stupeň Polynomials (kvadratické rovnice) Krok 6

3. Přední X Dejte pár faktorů pro koeficient A. V našem příkladu je takový pár pouze jeden:

(3x) (1x)

Obrázek s názvem Faktor Druhá stupeň Polynomials (kvadratické rovnice) Krok 7

4. Po X Dát pár multiplikátorů s. Předpokládejme, že užíváme 8 a 1. Dostaneme:

(3xosm) (Xjeden)

Obrázek s názvem Faktor Druhá stupeň Polynomials (kvadratické rovnice) Krok 8

Pět. Rozhodnout, které znamení je X a čísla (volné členy). V závislosti na značkách ve zdrojové rovnici můžete definovat známky před volnými členy. Označte volné členy v našich biccins-multiplikátorech H a K:

Pokud AX + BX + C, pak (x + h) (x + k)
Pokud je sekera BX - C nebo Ax + BX - C, pak (x - h) (x + k)
Pokud AX - BX + C, pak (x - h) (x - k)
V našem příkladu 3x + 2x - 8, proto (x - h) (x + k) a

(3x + 8) (X - 1)

Obrázek s názvem Faktor Druhá stupeň Polynomials (kvadratické rovnice) Krok 9

6. Zkontrolujte výsledky pohyblivými výrazy v závorkách. Pokud je druhý člen již (z proměnné X) nesprávné (bez ohledu na negativní nebo pozitivní), jste si vybrali více multiplikátorů C.

(3x + 8) (X - 1)

3x - 3x + 8x - 8

3x - 3x + 8x - 8 = 3x + 5x - 8 ≠ 3x + 2x - 8thAfter, když násobí multiplikátoři, získáme výraz, který není roven počátečnímu, znamená, že jsme si vybrali dvojici faktorů.

Obrázek s názvem Faktor Druhá stupeň Polynomials (kvadratické rovnice) Krok 10

7. Změňte pár multiplikátorů C. V našem příkladu trvat 2 a 4 místo 1 a 8.

(3x + 2) (X - 4)
Nyní C = -8. Nicméně (3x * -4) + (2 * x) = -12x + 2x = -10x, to je nyní B = -10x a v počáteční rovnici B = 2x (mýlil B).

Obrázek s názvem Faktor Druhá stupeň Polynomials (kvadratické rovnice) Krok 11

osm. Změňte postup pro multiplikátory. Změníme místa 2 a 4:

(3x + 4) (x - 2)
C Co by mělo být (4 * -2 = -8). -6x + 4x nám dává správnou hodnotu (2x), ale špatné znamení před ním (-2x namísto + 2x).

Obrázek s názvem Faktor Druhé stupně Polynomy (kvadratické rovnice) Krok 12

devět. Změnit značky. Postup pro členy v závorkách opustí totéž, ale změní značky:

(3x - 4) (x + 2)
C Co by mělo být (-8) a

B= 6x - 4x = 2x
2x = 2xPodle potřeby. Našli jsme tedy správné faktory původní rovnice.

Metoda 3 z 7:

Řešení rozkladem

Pomocí této metody můžete definovat všechny faktory koeficientů A a C a používat je při hledání multiplikátorů této rovnice. Pokud jsou čísla velká nebo vás unavená z hádka, použijte tímto způsobem. Zvažte příklad:

6x + 13x + 6

jeden. Vynásobte koeficient A (6 v našem příkladu) na koeficientu C (také 6 v našem příkladu).

6 * 6 = 36

Obrázek s názvem Faktor Druhé stupně Polynomials (kvadratické rovnice) Krok 14

2. Najít koeficient B Rozkládání multiplikátorů a sledování kontroly. Hledáme dvě čísla, která na násobí, vyvoláváme výsledek v důsledku násobení A * C (v našem příkladu 36) a při přidávání poskytne výsledek rovný koeficientu B (v našem příkladu 13).

4 * 9 = 36
4 + 9 = 13

Obrázek s názvem Faktor Druhé stupně Polynomy (kvadratické rovnice) Krok 15

3. Nahraďte dvě čísla nalezená ve zdrojové rovnici jako součet (která je stejná B). Označují nalezené čísla K a H (Postup není důležitý):

AX + KX + HX + C
6x + 4x + 9x + 6

Obrázek s názvem Faktor Druhé stupně Polynomials (kvadratické rovnice) Krok 16

4. Rozložte polynom na členské zařízení skupiny. Skupinové členy původní rovnice tak, aby vydrželi největší obecné multiplikátory prvních dvou a posledních dvou členů. Současně by měly být výrazy v obou závorkách stejné. Společné multiplikátoři organizují ve výrazu a vynásobte ji na stejný výraz v závorkách.

6x + 4x + 9x + 6
2x (3x + 2) + 3 (3x + 2)
(2x + 3) (3x + 2)

Metoda 4 z 7:

Trojitá metoda

Velmi podobný způsobu rozkladu. Tato metoda považuje možné faktory výsledku multiplikace A na C a používá je k nalezení hodnoty B. Zvažte příklad: 8x + 10x + 2

jeden. Násobit A (8 příklad) C(2).

8 * 2 = 16

Obrázek s názvem Faktor Druhá stupeň Polynomials (kvadratické rovnice) Krok 18

2. Najděte dvě čísla, která poskytne 16 na rozmnožování a výsledek je roven koeficientu B (10).

2 * 8 = 16
8 + 2 = 10

Obrázek s názvem Faktor Druhá stupeň Polynomials (kvadratické rovnice) Krok 19

3. Našel dvě čísla (označují je H a K) Nahraďte do následující rovnice (vzorec "trojitá metoda"):

((AX + H) (sekera + k)) / a

((8x + 8) (8x + 2)) / 8

Obrázek s názvem Faktor Druhá stupeň Polynomials (kvadratické rovnice) Krok 20

4. Zjistěte, které exprese v obou závorkách je zcela rozdělen A. V našem příkladu je tento výraz (8x + 8). Rozdělte tento výraz A, A ponechte výraz druhého držáku, jak je.

(8x + 8) = 8 (x + 1)
Rozdělte tento výraz na 8 (A) a dostat (x + 1)

Obrázek s názvem Faktor Druhá stupeň Polynomials (kvadratické rovnice) Krok 21

Pět. Vezměte největší společný dělič (uzel) z libovolných nebo obou závorek (pokud je). V našem příkladu je uzel exprese z druhých držáků 2 (protože 8x + 2 = 2 (4x + 1)). Tak se dostaneme

2 (x + 1) (4x + 1)

Metoda 5 z 7:

Čtvercové rozdíly

Některé polynomiální koeficienty lze identifikovat jako "čtverce" (práce dvou identických čísel). Nalezení "čtverců" umožňuje urychlit rozklad polynomu k multiplikátorům. Zvažte příklad:

27x - 12 = 0

jeden. Proveďte nejčastější sdílený dělič pro závorky (pokud je). V našem příkladu, 27 a 12 jsou rozděleny do 3.

27x - 12 = 3 (9x - 4)

Obrázek s názvem Faktor Druhá stupeň Polynomials (kvadratické rovnice) Krok 23

2. Určete, že počáteční rovnice je rozdíl dvou čtverců.Rovnice musí mít dva členy, ze kterých lze odstranit druhá odmocnina.

9x = 3x * 3x a 4 = 2 * 2 (Všimněte si, že jsme upustili minus znamení)

Obrázek s názvem Faktor Druhé stupně Polynomy (kvadratické rovnice) Krok 24

3. Náhradní hodnoty A a C Ve výrazu formuláře:

(√ (a) + √ (c)) (√ (a) - √ (c))

V našem příkladu A = 9 I. I C = 4, √A = 3 a √C = 2. Tím pádem,

27x - 12 = 3 (9x - 4) = 3 (3x + 2) (3x - 2)

Metoda 6 z 7:

Vzorec pro řešení čtvercové rovnice

Pokud jiné metody nefungují a polynom se nerozkládá faktory, použijte řešení čtvercové rovnice. Zvažte příklad:

X + 4x + 1 = 0

jeden. Zapojte příslušné hodnoty ve vzorci:

X = -B ± √ (B - 4AC)
---------------------
2a
Dostáváme výraz:

X = -4 ± √ (4 - 4 • 1 • 1) / 2

Obrázek s názvem Faktor Druhá stupeň Polynomials (kvadratické rovnice) Krok 26

2. Nalézt X. Musíte dostat dva významy X. Jak je uvedeno výše, najdeme dvě řešení:

X = -2 + √ (3) nebo X = -2 - √ (3)

Obrázek s názvem Faktor Druhé stupně Polynomials (kvadratické rovnice) Krok 27

3. Náhradní hodnoty nalezeno X namísto H a K Ve výrazu formuláře:

(X - h) (x - k)

(X - (-2 + √ (3)) (X - (-2 - √ (3)) = (x + 2 - √ (3)) (x + 2 + √ (3))

Metoda 7 ze 7:

Kalkulačka

Pokud můžete použít grafickou kalkulačku, výrazně zjednodušuje proces rozkladu polynomů k multiplikátorům. Níže jsou uvedeny pokyny pro grafickou kalkulačku TI. Zvažte příklad:

Y = x - x - 2

jeden. Zadejte svou rovnici v [Y =].

Obrázek s názvem Faktor Druhá stupeň Polynomials (kvadratické rovnice) Krok 29

2. Stiskněte [Graf] pro vytvoření grafu rovnice. Uvidíte hladkou křivku (v našem případě parabola, protože se jedná o čtvercovou rovnici).

Obrázek s názvem Faktor Druhé stupně Polynomials (kvadratické rovnice) Krok 30

3. Najít body křižovatky paraboly s osou X. Takže najdete hodnoty X.

(-1, 0), (2, 0)
X = -1, X = 2

Pokud nemůžete vizuálně určit souřadnice, stiskněte [2ND] a potom [Trace]. Stiskněte [2] nebo vyberte možnost "Zero". Vložte kurzor na levé křižovatce a stiskněte [ENTER]. Vložte kurzor na pravou křižovatku a stiskněte [ENTER]. Kalkulačka sám určuje hodnoty X.

Obrázek s názvem Faktor Druhé stupně Polynomials (kvadratické rovnice) Krok 31

4. Náhradní hodnoty X namísto H a K Ve výrazu formuláře:

(x - h) (x - k) = 0

(X - (-1)) (X - 2) = (X + 1) (X - 2)

Tipy

Máte-li grafickou kalkulačku Ti-84, pak pro něj existuje program řešitel, který řeší čtvercové rovnice (a v obecných rovnicích jakéhokoli rozsahu).
Pokud člen není v polynomu, pak je koeficient roven 0. Pokud máte takový případ, je užitečné přepsat rovnici ve formuláři:

X + 6 = X + 0x + 6
Pokud jste položili polynom s pomocí vzorce pro řešení čtvercové rovnice a obdržel odpověď na kořeny, převést hodnoty X V zlomku pro kontrolu.
Pokud s neznámým (proměnným) neexistuje žádný koeficient, je rovna 1.

x = 1x
V průběhu času se naučíte držet metodu vzorků a chyb v mé hlavě. A do té doby to napište.

Varování

Pokud studujete rozklad polynomů ve třídách, použijte metodu, která doporučuje učitele, a ne ten, který se vám líbí. Učitel na zkoušce může vyžadovat použití konkrétního způsobu a může zakázat pomocí grafické kalkulačky.