Jak vytvořit harmonogram racionální funkce: 8 kroků

Racionální funkce má tvar Y = n (x) / d (x), kde n a d jsou polynomy. Chcete-li vytvořit přesný graf takové funkce, budete potřebovat dobré znalosti algebry, včetně diferenciálních výpočtů. Zvažte následující příklad: y = (2X - 6X + 5) / (4X + 2).

Kroky

jeden. Najděte bod průsečíku grafu s osou Y. Chcete-li to provést, substrát x = 0 a získat y = 5/2. Tak, bod průsečíku grafu s osou Y má souřadnice (0, 5/2). Nastavte tento bod na souřadnicové rovině.

Obrázek s názvem Graf Racionální funkce Krok 2

2. Najít horizontální asymptotes. Rozdělte numerátor do jmenovatele (ve sloupci), abyste určili chování "Y" s hodnotami "X" hledající v nekonečnu. V našem příkladu bude výsledek divize y = (1/2)X - (7/4) + 17 / (8)X + 4). S velkými pozitivními nebo zápornými hodnotami "X" 17 / (8)X + 4) inklinuje nulu, a graf se blíží přímé specifikované funkci y = (1/2)X - (7/4). Pomocí tečkované čáry vybudujte graf této funkce.

Pokud je stupeň numerátoru menší než stupeň jmenovatele, pak nebudete moci rozdělit numerátor na jmenovatele a Asymptota popisuje funkci W = 0.

Pokud je stupeň numerátoru roven stupněm jmenovatele, pak asymptota je horizontální přímý, stejně jako rovný poměr koeficientů na "X" na nejvyšší.

Pokud je stupeň numerátoru 1 více než stupeň jmenovatele, pak asymptota je šikmo přímý, z nichž úhlový koeficient se rovná poměru koeficientů na "x" na nejvyšší.

Pokud je stupeň numerátoru větší než stupeň jmenovatele při 2, 3 a t.D., Pak na velkých hodnotáchNs| Hodnoty W mají tendenci nekonečno (pozitivní nebo negativní) ve formě čtverce, kubického nebo jiného stupně polynomu. V tomto případě s největší pravděpodobností není nutné vytvořit přesný graf funkce získané při rozdělení numátoru k jmenovateli.

Obrázek s názvem Graf Racionální funkce Krok 3

3. Najděte nuly funkce. Racionální funkce má nuly, když je jeho numerátor nulová, to je n (Ns) = 0. V našem příkladu 2X - 6X + 5 = 0. Diskriminaci této čtvercové rovnice:B - 4Střídavý = 6 - 4 * 2 * 5 = 36 - 40 = -4. Protože diskriminační je negativní, pak n (Ns), a následně f (Ns) nemá platné kořeny. Graf racionální funkce nepřesáhne osu x. Pokud má funkce nuly (kořeny), pak je nastavte na souřadnicovou rovinu.

Obrázek s názvem Graf Racionální funkce Krok 4

4. Najít vertikální Asymptotes. K tomu vyrovnejte jmenovatele na nulu. V našem příkladu 4X + 2 = 0 a Ns = -1/2. Sestavte graf vertikálních asymptotů pomocí tečkované čáry. Pokud s nějakým významem Ns N (Ns) = 0 a d (Ns) = 0, pak vertikální asymptota nebo existuje nebo neexistuje (to je vzácný případ, ale je lepší si ho pamatovat).

Obrázek s názvem Graf Racionální funkce Krok 5

Pět. Podívejte se na zbytek od dělení čísla na denominátor. Je pozitivní, negativní nebo rovna nule? V našem příkladu je zbytek 17, to znamená, že je to pozitivní. NEBEZPEČÍ 4X + 2 pozitivní vpravo od vertikálních asymptotů a negativní na levé straně. To znamená, že graf racionální funkce při velkých pozitivních hodnotách Ns přístupy asymptoting shora a s velkými negativními hodnotami Ns - Dno. Od 17 / (8)X + 4) Nikdy se rovna nule, pak se harmonogram této funkce nikdy nepřekročí přímou specifikovanou funkciW = (1/2)Ns - (7/4).

Obrázek s názvem Graf Racionální funkce Krok 6

6. Najít místní extremus. Místní extremum existuje na n `(X) D (X) - n (X) D `(X) = 0. V našem příkladu n `(X) = 4X - 6 a d `(X) = 4. N `(X) D (X) - n (X) D `(X) = (4X - 6) (4X + 2) - (2X - 6X + 5) * 4 = X + X - 4 = 0. Rozhodování této rovnice, zjistíte to X = 3/2 I X = -5/2. (Nejedná se o zcela přesný význam, ale jsou vhodné pro náš případ, kdy není naléhavost potřeba.)

Obrázek s názvem Graf Racionální funkce Krok 7

7. Najít hodnotu W Pro každý místní extremum. Chcete-li to udělat, nahrazují hodnoty Ns V původní racionální funkci. V našem příkladu F (3/2) = 1/16 a F (-5/2) = -65/16. Odložení bodů (3/2, 1/16) a (-5/2, -65/16) na souřadnicové rovině. Vzhledem k tomu, že výpočty jsou založeny na přibližných hodnotách (z předchozího kroku), zjištěné minimum a maximum nejsou také zcela přesné (ale pravděpodobně velmi blízko přesných hodnot). (Bod (3/2, 1/16) je velmi blízko místního minima. Počínaje krokem 3, to víme W Vždy pozitivní as Ns> -1/2 a našli jsme malou hodnotu (1/16) - v tomto případě je v tomto případě hodnota chyby extrémně malá.)

Obrázek s názvem Graf Racionální funkce Krok 8

osm. Připojte čekající body a plynule rozšiřujte plán asymptotams (nezapomeňte na správný směr rozvrhu aproximace k asymptotamu). Nezapomeňte, že plán by neměl překročit osu X (viz. Krok 3). Graf také neprochází s horizontálními a vertikálními asymptotes (viz. Krok 5). Neměňte směr harmonogramu s výjimkou bodů extrémů nalezených v předchozím kroku.

Tipy

Pokud jste dokončili výše popsané akce striktně v pořadí, není třeba vypočítat druhé deriváty (nebo podobné komplexní množství), aby ověřili své rozhodnutí.
Pokud nemusíte vypočítat hodnoty hodnot, můžete nahradit zjištění lokálních extremumů pro výpočet některých dalších dvojic souřadnic (Ns, W) mezi každým párem asymptot. Navíc, pokud se nestaráte o to, jak funguje popsaná metoda, pak nebudou překvapeni, proč nemůžete najít derivát a vyřešit rovnici n `(X) D (X) - n (X) D `(X) = 0.
V některých případech budete muset pracovat s polynomy s vysokým řádem. Pokud nemůžete najít přesné řešení s pomocí rozkladu multiplikátorů, vzorců atd.Ns., Poté vyhodnotit možná řešení pomocí numerických metod, jako je Newtonova metoda.
Ve vzácných případech má numerátor a jmenovatel společný proměnlivý multiplikátor. Podle popsaných kroků to povede k nulu a na vertikální asymptoty na stejném místě. To však není možné a vysvětlení slouží k jednom z následujících možností:

Nula v n (Ns) má vyšší multiplicitu než nula v D (Ns). Graf f (Ns) V tomto bodě má tendenci nulu, ale není v něm definováno. Určete jej vytažením kruhu kolem bodu.
Nula v n (Ns) a nula v d (Ns) mají stejný násobek. Plán se v tomto smyslu přistupuje k některému nenulovým bodům Ns, Ale není v něm definováno. Určete jej vytažením kruhu kolem bodu.
Nula v n (Ns) má nižší multiplicitu než nula v D (Ns). Zde je vertikální asymptota.