Jak lhostejnit implicitní funkci: 7 kroků

Když dostanete jasnou funkci, ve které je závislá proměnná izolována na jedné straně znamení rovnosti (například y = x -3x), pak můžete snadno přímo lhostejnit (to znamená, že je možné najít jeho derivát). Implicitní funkce (například X + Y - 5x + 8y + 2xY = 19), ve kterých není tak jednoduché oddělit závislou proměnnou jinak jinak.

Kroky

Metoda 1 z 2:

Nalezení derivátu jednoduché funkce

jeden. Na obou stranách funkce naleznete (standardním způsobem) deriváty členů obsahujících nezávislé proměnné "x" a derivátové volné členy. V této fázi členy obsahující závislou proměnnou "Y", dokud se nedotknete. Funkce X + Y je například dána - 5x + 8y + 2xY = 19.

V našem příkladu X + Y - 5x + 8Y + 2xY = 19 Existují dva členové z proměnné "X": X a -5x. Najít jejich deriváty:
X + Y - 5x + 8Y + 2xY = 19
(Stupeň 2 in x udělat násobitel, v -5x se zbavit "x" a derivát 19 je 0)
2x + Y - 5 + 8Y + 2xY = 0

Obrázek s názvem Prováděcí diferenciace krok 2

2. Teď užívejte deriváty od člena od proměnné "Y" a uvalit jim (DY / DX). Například při hledání derivátu člena jej zapište následovně: 2Y (DY / DX). V této fázi členové obsahující oba proměnné ("X" a "Y"), dokud se nedotknete.

V našem příkladu 2x + Y - 5 + 8Y + 2xY = 0 Rozlišení členů Y a 8Y:

2x + Y - 5 + 8Y + 2xY = 0

(Indikátor stupně 2 v m, aby se multiplikátor a v 8. zbavili "y" - pak zavede derivát dx / dy)

2x + 2Y (DY / DX) - 5 + 8 (DY / DX) + 2xY = 0

Obrázek s názvem Prováděcí diferenciace Krok 3

3. Chcete-li najít derivát člena obsahující produkt dvou proměnných ("X" a "Y"), použijte funkci diferenciace funkce funkcí: (F × g) `= f` × g + g × f `, kde namísto f substrátu "x" a místo g - "y". Na druhé straně najít derivaci členu obsahujícího soukromé dvě proměnné ("X" a "Y"), použijte pravidlo diferenciace soukromých funkcí: (F / g) `= (g × f` - g `× f) / g, Kde namísto F substrátu "X" a místo G - "Y" (nebo naopak, v závislosti na funkcích, které máte).

V našem příkladu 2x + 2Y (DY / DX) - 5 + 8 (DY / DX) + 2H = 0 je jeden člen s oběma proměnnými: 2xy. Vzhledem k tomu, že zde jsou proměnné násobeno, použijte funkci diferenciace kusu funkcí:

2xY = (2x) (y) - Nechť 2x = f a y = g in (f x g) `= f` × g + g × `

(F × g) `= (2x)` × (y) + (2x) × (y) `

(F × g) `= (2) × (y) + (2x) × (2Y (dy / dx))

(F × g) `= 2Y + 4xY (DY / DX)

Přidejte tyto členy do hlavní funkce a získejte: 2x + 2Y (DY / DX) - 5 + 8 (DY / DX) + 2Y + 4xY (DY / DX) = 0

Obrázek s názvem Proveďte implicitní diferenciaci krok 4

4. Dělal (dy / dx). Mějte na paměti, že všechny dva členy "A" a "B", které jsou vynásobeny (DY / DX), mohou být napsány ve formě (A + B) (DY / DX). Pro separaci (DY / DX) přeneste všechny členy bez (DY / DX) na jednu stranu znamení rovnosti a pak je rozdělit na členy stojící v závorkách na (DY / DX).

V našem příkladu 2x + 2Y (DY / DX) - 5 + 8 (DY / DX) + 2Y + 4xY (DY / DX) = 0:

2x + 2Y (DY / DX) - 5 + 8 (DY / DX) + 2Y + 4xY (DY / DX) = 0

(2Y + 8 + 4xy) (DY / DX) + 2x - 5 + 2Y = 0

(2Y + 8 + 4xY) (DY / DX) = -2Y - 2x + 5

(DY / DX) = (-2y - 2x + 5) / (2Y + 8 + 4x)

(DY / DX) = (-2y - 2x + 5) / (2 (2xY + y + 4)

Metoda 2 z 2:

Pokročilé metody

jeden. Subdold hodnoty (X, Y) naleznete (DY / DX) pro libovolný bod. Služby (DY / DX), našli jste derivaci implicitní funkce. Pomocí tohoto derivátu můžete najít úhlový koeficient tangenciální v libovolném bodu (x, y), jednoduše nahrazení v nalezeném derivátu souřadnic "X" a "y".

Například je nutné najít úhlový koeficient tangentu v bodu A (3, -4). K tomu, v derivátu namísto "x" náhradník 3 a místo "y" náhradník -4:
(DY / DX) = (-2y - 2x + 5) / (2 (2xy + y + 4)
(DY / DX) = (-2 (-4) - 2 (3) + 5) / (2 (2 (2 (3) (- 4) + (-4) + 4)
(DY / DX) = (-2 (16) - 6 + 5) / (2 (2 (3) (- 4))
(DY / DX) = (-32) - 6 + 5) / (2 (2 (-12))
(DY / DX) = (-33) / (2 (2 (-12))
(DY / DX) = (-33) / (- 48) = 3/48 = 0,6875.

Obrázek s názvem Proveďte implicitní diferenciaci kroku 6

2. Využijte detailů řetězce diferenciace komplexních funkcí: Pokud může být funkce f (x) zapsána ve formuláři (f Ó g) (x), derivát f (x) je stejný F `(g (x)) g` (x). To znamená, že derivát složení dvou nebo více funkcí lze vypočítat na základě jednotlivých derivátů.

Příklad: Najděte derivát hříchu (3x + x). V tomto případě označte hřích (3x + x) jako "f (x)" a 3x + x jako "g (x)".

F `(g (x)) g` (x)

(hřích (3x + x)) `× (3x + x)`

Cos (3x + x) × (6x + 1)

(6x + 1) cos (3x + x)

Obrázek s názvem Prováděcí diferenciace krok 7

3. Pokud funkce obsahuje proměnné "X", "Y", "Z", najít (DZ / DX) a (DZ / DY). To znamená, že pokud funkce obsahuje více než dvě proměnné, pro každou další proměnnou je nutné nalézt další derivát "X". Pokud například funkce obsahuje proměnné "X", "Y", "Z", musíte najít (DZ / DX) a (DZ / DY). Můžete to provést pomocí funkce "X" dvakrát - poprvé přidáte (DZ / DX) pro každý provázatelný člen s "Z", a podruhé přidám (DZ / DY) při rozlišení "Z". Poté jednoduše oddělte (DZ / DX) a (DZ / DY).

Najděte například derivát XZ - 5xYZ = X + Y.

Nejprve, lhostejní pomocí "X" a přidat (DZ / DX). Nezapomeňte aplikovat pravidlo zjištění derivátu funkce funkcí.

xz - 5xyz = x + y

3xz + 2xz (DZ / DX) - 5YZ - 5xy (DZ / DX) = 2x

3xz + (2xz - 5xy) (DZ / DX) - 5YZ = 2x

(2xz - 5xy) (DZ / DX) = 2x - 3xz + 5yz

(DZ / DX) = (2x - 3xz + 5YZ) / (2xz - 5xy)

Nyní udělat totéž pro (DZ / DY):

xz - 5xyz = x + y

2xz (DZ / DY) - 25xYZ - 5xy (DZ / DY) = 3Y

(2xz - 5xy) (DZ / DY) = 3Y + 25xYZ

(DZ / DY) = (3Y + 25xYZ) / (2xz - 5xy)