Jak řešit trigonometrické rovnice: 8 kroků

Trigonometrická rovnice obsahuje jednu nebo více trigonometrických funkcí proměnné "X" (nebo jiné proměnné). Řešení trigonometrické rovnice je najít takovou hodnotu "X", která splňuje funkce (funkce) a rovnice obecně.

Roztoky trigonometrických rovnic jsou vyjádřena ve stupních nebo radiánech. Příklady:

X = π / 3- x = 5π / 6- x = 3π / 2-x = 45 degreesh = 37,12 degreesh = 178,37 stupňů.

Poznámka: Hodnoty trigonometrických funkcí z úhlů vyjádřených v radiánech a z úhlů vyjádřených ve stupních jsou stejné. Trigonometrický kruh s poloměrem rovným jednom, slouží k popisu trigonometrických funkcí, jakož i ověřit správnost řešení hlavních trigonometrických rovnic a nerovností.
Příklady trigonometrických rovnic:

SIN X + SIN 2X = 1/2-TG X + CTG X = 1,732;
Cos 3x + hřích 2x = cos x-2sin 2x + cos x = 1 .

Trigonometrický kruh s poloměrem rovným jednomu (jeden kruh).
Jedná se o kruh s poloměrem rovným jednom a středu v místě o. Jediný kruh popisuje 4 základní trigonometrické funkce proměnné "X", kde "X" je úhel započítaný z kladného směru osy X proti směru hodinových ručiček.
Pokud je "X" nějaký úhel na jediném kruhu, pak:
Horizontální osa OAH definuje funkci f (x) = compi.
Svislá osa ovy definuje funkci f (x) = hřích x.
Vertikální osa v definování funkce f (x) = tg x.
Horizontální osa Bu určuje funkci F (x) = CTG X.

Jednotkový kruh se také používá při řešení hlavních trigonometrických rovnic a nerovností (existují různá ustanovení "X").

Kroky

jeden. Koncepce řešení trigonometrických rovnic.

Pro vyřešení trigonometrické rovnice přeměňte na jeden nebo více hlavních trigonometrických rovnic. Roztok trigonometrické rovnice je nakonec sníženo na řešení čtyř hlavních trigonometrických rovnic.

Obrázek s názvem Řešení trigonometrických rovnic Krok 2

2. Řešení hlavních trigonometrických rovnic.

Existují 4 typy základních trigonometrických rovnic:

SIN X = A- COS X = A

TG X = A- CTG X = A

Řešení hlavních trigonometrických rovnic znamená zvážení různých ustanovení "X" na jediném kruhu, jakož i použití konverzní tabulky (nebo kalkulačky).

Příklad 1. SIN X = 0,866. Pomocí konverzní tabulky (nebo kalkulačka) obdržíte odpověď: X = π / 3. Jeden kruh dává další odpověď: 2π / 3. Nezapomeňte: Všechny trigonometrické funkce jsou periodické, to znamená, že jejich hodnoty se opakují. Například frekvence hříchu X a Cos X je 2πn, a frekvence TG X a CTG X se rovná πn. Odpověď je proto napsána následovně:

X1 = π / 3 + 2πn- x2 = 2π / 3 + 2πn.

Příklad 2. Cos x = -1/2. Použití konverzní tabulky (nebo kalkulačku) obdržíte odpověď: X = 2π / 3. Jeden kruh dává další odpověď: -2π / 3.

X1 = 2π / 3 + 2π x2 = -2π / 3 + 2π.

Příklad 3. TG (X - π / 4) = 0.

Odpověď: X = π / 4 + πn.

Příklad 4. CTG 2x = 1,732.

Odpověď: X = π / 12 + πn.

Obrázek s názvem Řešení trigonometrických rovnic Krok 3

3. Transformace použitá při řešení trigonometrických rovnic.

Pro transformaci trigonometrických rovnic se používají algebraické transformace (rozklad na multiplikátoři, což přináší homogenní členy a t.D.) a trigonometrie.

Příklad 5. Pomocí trigonometrických identit je SIN X + SIN 2X + SIN 3X = 0 převeden na 4Cos X * SIN rovnice (3x / 2) * COS (X / 2) = 0. Měly by být tedy řešeny následující hlavní trigonometrické rovnice: Cos X = 0- hřích (3x / 2) = 0- cos (x / 2) = 0.

Obrázek s názvem Řešení trigonometrických rovnic Krok 4

4. Nalezení rohu známých hodnot funkcí.

Před studiem metod řešení trigonometrických rovnic je třeba se naučit, jak najít rohy podle známých hodnot funkcí. To lze provést pomocí konverzní nebo kalkulačky tabulky.

Příklad: cos x = 0,732. Kalkulačka poskytne odpověď x = 42,95 stupňů. Jediný kruh poskytne další rohy, jejichž kosinásobně se rovná 0,732.

Obrázek s názvem Řešení trigonometrických rovnic Krok 5

Pět. Postulovat rozhodnutí na jediném kruhu.

Můžete odložit rovnici s pevnou konfigurací jednoho kruhu. Roztoky trigonometrické rovnice na jednom kruhu jsou vrcholy správného polygonu.

Příklad: Roztoky X = π / 3 + πn / 2an Jediný kruh jsou vrcholy čtverce.

Příklad: Roztoky x = π / 4 + πn / 35 Jediný kruh je vrcholy správného šestiúhelníku.

Obrázek s názvem Řešení trigonometrických rovnic Krok 6

6. Metody řešení trigonometrických rovnic.

Pokud tato trigonometrická rovnice obsahuje pouze jednu trigonometrickou funkci, vyřešte tuto rovnici jako hlavní trigonometrickou rovnici. Pokud tato rovnice obsahuje dvě nebo více trigonometrických funkcí, existují 2 metody pro řešení takové rovnice (v závislosti na možnosti jeho transformace).

Metoda 1.

Převést tuto rovnici k rovnici formy: f (x) * g (x) * h (x) = 0, kde f (x), g (x), h (x) - hlavní trigonometrické rovnice.

Příklad 6. 2COS X + SIN 2X = 0.(0 < s>

Řešení. Použití vzorce dvojitého úhlu hříchu 2x = 2 * sin x * cos, nahraďte hřích 2x.

2SSS x + 2 * hřích x * cos x = 2cos x * (hřích x + 1) = 0. Nyní rozhodněte o dvou hlavních trigonometrických rovnicích: cos x = 0 a (hřích x + 1) = 0.

Příklad 7.Cos x + cos 2x + cos 3x = 0.(0 < s>

Řešení: Použití trigonometrické identity, převedená rovnice k rovnici formy: COS 2x (2COS x + 1) = 0. Nyní rozhodněte o dvou hlavních trigonometrických rovnicích: cos 2x = 0 a (2COS x + 1) = 0.

Příklad 8.SIN X - SIN 3X = COS 2x .(0 < s>

Řešení: Použití trigonometrické identity, převedená rovnice k rovnici typu: -Cos 2x * (2sin x + 1) = 0. Nyní rozhodněte o dvou hlavních trigonometrických rovnicích: cos 2x = 0 a (2sin x + 1) = 0.

Metoda 2.

Převést tuto trigonometrickou rovnici k rovnici obsahující pouze jednu trigonometrickou funkci. Pak vyměňte tuto trigonometrickou funkci do některých neznámých, například t (hřích x = t- cos x = t- cos 2x = t, tg x = t-tg (x / 2) = t a t.D.).

Příklad 9. 3Sin ^ 2 x - 2COS ^ 2 x = 4sin x + 7 (0 < s>

Řešení. V této rovnici vyměňte (cos ^ 2 x) na (1 - hřích ^ 2 x) (podle identity). Transformovaná rovnice je:

3Sin ^ 2 x - 2 + 2SIN ^ 2 x - 4SIN x - 7 = 0. Nahradit hřích x na t. Nyní je rovnice: 5t ^ 2 - 4t - 9 = 0. Jedná se o čtvercovou rovnici, která má dva kořeny: T1 = -1 a T2 = 9/5. Druhý kořen T2 nesplňuje hodnoty hodnot funkcí (-1 < hřích>

Příklad 10. TG X + 2 TG ^ 2 x = CTG X + 2

Řešení. Nahradit x na t. Přepište počáteční rovnici v následujícím formuláři: (2T + 1) (T ^ 2 - 1) = 0. Nyní najděte t a pak najděte x pro t = tg x.

Obrázek s názvem Řešení trigonometrických rovnic Krok 7

7. Speciální trigonometrické rovnice.

Existuje několik speciálních trigonometrických rovnic, které vyžadují specifické transformace. Příklady:

A * SIN X + B * COS X = C - A (SIN X + COS X) + B * COS X * SIN X = C;

A * SIN ^ 2 x + B * SIN X * COS X + C * COS ^ 2 x = 0

Obrázek s názvem Řešení trigonometrických rovnic Krok 8

osm. Periodicita trigonometrických funkcí.

Jak již bylo zmíněno, extrarigonometrické funkce jsou periodické, to znamená, že jejich hodnoty se opakují po určité době. Příklady:

Období funkce f (x) = hřích x je 2π.

Funkce funkce (X) = TG x je rovna π.

Funkce periody f (x) = hřích 2x je roven π.

Funkční funkce (x) = cos (x / 2) je 4π.

Pokud je období zadáno v úloze, vypočte hodnotu "X" v tomto období.

Poznámka: Trigonometrické vlastního kapitálu - obtížný úkol, který často vede k chybám. Proto pečlivě zkontrolujte odpovědi. Chcete-li to provést, můžete použít grafickou kalkulačku pro konstrukci grafu této rovnice R (x) = 0. V takových případech budou roztoky prezentovány ve formě desetinných frakcí (tj. Je, je nahrazeno o 3,14).