Jak sdílet logaritmy: 11 kroky (s ilustracemi)

Akce s logaritmy se mohou zdát spíše komplikované, ale stejně jako u Poweral Funkce nebo polynomy, je nutné znát základní pravidla. Jsou to trochu trochu: rozdělit logaritmy se stejnou základnou nebo rozkládat logaritmus soukromého, stačí použít několik hlavních vlastností logaritmů.

Kroky

Metoda 1 z 2:

Jak se sdílet logaritmy ručně

jeden. Zkontrolujte, zda nejsou pod logaritmem žádná záporná čísla nebo jednotka. Tato metoda platí pro výrazy formuláře

Log v (s) Log v (ale)

${Frac {log _ {{b}} (x)} {log _ {{b}} (a)}}$ . Není však vhodné pro některé zvláštní příležitosti:

Logaritmus záporného čísla není definován v žádné bázi (například, $Log (- 3)$ nebo $Log 4 (- Pět)$ $log _ {{4}} (- 5)$ ). V tomto případě napsat "Neexistuje žádné rozhodnutí".
Logaritmus nula v žádném důvodu není definován. Pokud jste chytil $Ln (0)$ , zapsat "Neexistuje žádné rozhodnutí".
Logaritmové jednotky z jakéhokoli důvodu ( $Log (jeden)$ ) vždy se rovná nule, protože $s 0 = jeden$ $X ^ {{0}} = 1$ Pro všechny hodnoty s. Zapište si místo takového logaritmu 1 a nepoužívejte níže uvedenou metodu.
Pokud mají například logaritmy různé základny $L Ó G 3 (s) L Ó G 4 (ale)$ ${Frac {log _ {{3}} (x)} {log _ {{4}} (a)}}$ , a nesnižují celé číslo, hodnota výrazu nelze nalézt ručně.

Obrázek s názvem Rozdělit logaritmy krok 2

2. Převést výraz na jeden logaritmus. Pokud se výraz nevztahuje na výše uvedené případy, může být reprezentován jako jeden logaritmus. Použití pro tento následující vzorec:

Log v (s) Log v (ale) = {Log}_{A} (s)

${Frac {log _ {{b}} (x)} {log _ {{b}} (a)}} = log _ {{}} (x)$ .

Příklad 1: Zvažte výraz

Log šestnáct Log 2

.
Chcete-li začít, předložíme výraz ve formě jednoho logaritmu s pomocí výše uvedeného vzorce:

Log šestnáct Log 2 = {Log}_{2} (šestnáct)

${Frac {log {16}} {log {2}}} = log _ {{2}} (16)$ .

Tento vzorec "Výměna báze" Logaritmus je odvozen z hlavních vlastností logaritmů.

Obrázek s názvem Rozdělit logaritmy krok 3

3. Pokud je to možné, vypočte hodnotu exprese ručně. Najít

Log ale (s)

$log _ {{}} (x)$ , Představte si výraz "

ale ? = s

$A ^ {{?}} = X$ ", To znamená, klást následující otázka: "Jaký stupeň musíte stavět ale, Získat s?". Chcete-li odpovědět na tuto otázku, může být požadována kalkulačka, ale pokud máte štěstí, můžete ho najít ručně.

Příklad 1 (pokračování): Přepsat

Log 2 (šestnáct)

$Log _ {{2}} (16)$ tak jako

2 ? = šestnáct

$2 ^ {{?}} = 16$ . Je nutné zjistit, které číslo by mělo stát místo znamení "?". To lze provést vzorky a chybami:

22 = 2 * 2 = 4

$2 ^ {{2}} = 2 * 2 = 4$

23 = 4 * 2 = osm

$2 ^ {{3}} = 4 * 2 = 8$

24 = osm * 2 = šestnáct

$2 ^ {{4}} = 8 * 2 = 16$
Takže požadované číslo je 4:

Log 2 (šestnáct)

$Log _ {{2}} (16)$ = 4.

Obrázek s názvem Rozdělit logaritmy krok 4

4. Pokud se vám nepodaří zjednodušit odpověď v logaritmické podobě. Mnoho logaritmů je velmi obtížné vypočítat ručně. V tomto případě získat přesnou odpověď, budete potřebovat kalkulačku. Pokud však rozhodnete o úkolu v lekci, bude učitel pravděpodobně uspokojit odpověď v logaritmické podobě. Níže je třeba zvažovat metodu k řešení složitějšího příkladu:

Příklad 2: Co je stejné

Log 3 (58) Log 3 (7)

${Frac {log _ {{3}} (58)} {log _ {{3}} (7)}}$ ?

Tento výraz transformujeme do jednoho logaritmu:

Log 3 (58) Log 3 (7) = {Log}_{7} (58)

${Frac {log _ {{3}} (58)} {log _ {{3}} (7)}} = log _ {{7}} (58)$ . Upozorňujeme, že základ pro obě logaritmy ₃ zmizí - to je pravda z nějakého důvodu.

Přepište výraz ve formuláři

7 ? = 58

$7 ^ {{?}} = 58$ a zkuste najít hodnotu ?:

72 = 7 * 7 = 49

$7 ^ {{2}} = 7 * 7 = 49$

73 = 49 * 7 = 343

$7 ^ {{3}} = 49 * 7 = 343$
Od 58 je mezi těmito dvěma čísly,

Log 7 (58)

$Log _ {{7}} (58)$ není vyjádřeno v celém čísle.

Zanechat odpověď v logaritmické podobě:

Log 7 (58)

$Log _ {{7}} (58)$ .

Metoda 2 z 2:

Jak najít soukromý logaritmus

jeden. Zvažte případ, kdy je logaritmus soukromý (zlomek). Tato sekce je určena pro výrazy typu

Log ale (\frac{s}{a})

$log _ {{a}} ({frac {x} {y}})$ .

Předpokládejme, že potřebujete vyřešit následující úkol:
"Najít n, na kterém $Log 3 (27 6 N) = - 6 - {Log}_{3} (6)$ $log _ {{3}} ({frac {27} {6n}}) = - 6- log _ {{3}} (6)$ ".

Obrázek s názvem Rozdělit logaritmy krok 6

2. Zkontrolujte, zda neexistuje žádné záporné číslo pod znamením logaritmu. Logaritmus záporného čísla není definován. Pokud x nebo y jsou záporné, ujistěte se, že úkol má řešení před pokračováním na hledání:

Pokud X nebo y méně nula, úkol nemá žádné řešení.

Li oba Čísla X a Y jsou záporná, snižte značku Minus:

- s - a = \frac{s}{a}

${Frac {-X} {- y}} = {frac {x} {y}}$ .

Ve výše uvedeném příkladu nejsou pod logaritmem žádná negativní čísla, takže můžete jít na další krok.

Obrázek s názvem Rozdělit logaritmy krok 7

3. Rozložte logaritmus soukromého na dva logaritmus. Další užitečná vlastnost logaritmů je popsána následujícím vzorcem:

Log ale (\frac{s}{a}) = {Log}_{ale} (X) - {Log}_{ale} (a)

$LOG _ {{A}} ({frac {x} {y}}) = log _ {{a}} (x) - log _ {{}} (y)$ . Jinými slovy, logaritmus soukromého se vždy rovná rozdílu mezi logaritmy dělitele a děličem.

Tento vzorec používáme k rozkladu levé části rovnosti:

Log 3 (27 6 N) = {Log}_{3} (27) - {Log}_{3} (6 N)

$Log _ {{3}} ({frac {27} {6n}}) = log _ {{3}} (27) - log _ {{3}} (6n)$

Vyjádření nahradíme v naší rovnosti:

Log 3 (27 6 N) = - 6 - {Log}_{3} (6)

$log _ {{3}} ({frac {27} {6n}}) = - 6- log _ {{3}} (6)$
→

Log 3 (27) - {Log}_{3} (6 N) = - 6 - {Log}_{3} (6)

$Log _ {{3}} (27) - log _ {{3}} (6n) = - 6- log _ {{3}} (6)$

Obrázek s názvem Rozdělit logaritmy krok 8

4. Pokud je to možné, zjednodušte výraz. Pokud jsou výsledné logaritmy reprezentovány celými čísly, můžete zjednodušit výraz.

V našem příkladu se objevil nový člen:

Log 3 (27)

$Log _ {{3}} (27)$ . Z 3 = 27, místo toho

Log 3 (27)

$Log _ {{3}} (27)$ může být nahrazen 3.

V důsledku toho získáme následující výraz:

3 - Log 3 (6 N) = - 6 - {Log}_{3} (6)

$3- log _ _ {{3}} (6n) = - 6- log _ {{3}} (6)$

Obrázek s názvem Rozdělit logaritmy krok 9

Pět. Samostatná neznámá hodnota. Stejně jako u řešení jiných algebraických rovnic se doporučuje přenášet požadované množství v jednom směru a všechny ostatní členy jsou na druhé straně rovnice. Současně kombinujte podobné členy, aby zjednodušili rovnici.

3 - Log 3 (6 N) = - 6 - {Log}_{3} (6)

$3- log _ _ {{3}} (6n) = - 6- log _ {{3}} (6)$

I. I - Log 3 (6 N) = - {Log}_{3} (6)

$9- log _ {{3}} (6n) = - log _ {{3}} (6)$

Log 3 (6 N) = I. I + {Log}_{3} (6)

$Log _ {{3}} (6n) = 9 + log _ {{3}} (6)$ .

Obrázek s názvem Rozdělit logaritmy krok 10

6. V případě potřeby použijte jiné vlastnosti logaritmů. V našem případě je neznámá hodnota pod znamením logaritmu. Chcete-li jej oddělit od ostatních členů, měli byste použít Další vlastnosti logaritmu.

V našem příkladu N část složené

Log 3 (6 N)

$Log _ {{3}} (6n)$ .
Oddělit N, Používáme následující vlastnost logaritmů:

Log ale (v s) = {Log}_{ale} (v) + Log ale (s)

$log _ {{a}} (bc) = log _ {{a}} (b) + log {a} (c)$

Log 3 (6 N) = {Log}_{3} (6) + {Log}_{3} (N)

$Log _ {{3}} (6n) = log _ {{3}} (6) + log _ {{3}} (n)$

Nahraďte toto množství logaritmů v našem výrazu:

Log 3 (6 N) = I. I + {Log}_{3} (6)

$Log _ {{3}} (6n) = 9 + log _ {{3}} (6)$

Log 3 (6) + {Log}_{3} (N) = I. I + {Log}_{3} (6)

$log _ {{3}} (6) + log _ {{3}} (n) = 9 + log _ {{3}} (6)$

Obrázek s názvem Rozdělit logaritmy krok 11

7. Pokračujte v zjednodušení výrazu, dokud nedostanete odpověď. Použití pro toto pravidlo Algebra a vlastnosti logaritmů. Pokud odpověď není vyjádřena v celém čísle, použijte kalkulačku a zaokrouhlete s nejbližším významným číslem.

Log 3 (6) + {Log}_{3} (N) = I. I + {Log}_{3} (6)

$log _ {{3}} (6) + log _ {{3}} (n) = 9 + log _ {{3}} (6)$

Log 3 (N) = I. I

$Log _ {{3}} (n) = 9$
Od 3 = 19683, N = 19683 .