Jak řešit úkoly s tituly -

Stupeň slouží k zjednodušení nahrávání násobení počtu sami. Například místo záznamu $4 * čtyři * 4 * čtyři * 4$ 4 * 4 * 4 * 4 * 4 může být napsán $čtyři Pět$ $4 ^ {5}$ (Vysvětlení tohoto přechodu je uvedeno v první části tohoto článku). Stupně umožňuje zjednodušit psaní dlouhých nebo složitých výrazů nebo rovnic je také snadno složen a odečtena, což vede ke zjednodušení exprese nebo rovnice (například, $42 * 4^{3} = 4^{Pět}$ $4 ^ {2} * 4 ^ {3} = 4 ^ {5}$ ).

Poznámka: Pokud potřebujete vyřešit orientační rovnici (v této rovnici, neznámý je v indikátoru rozsahu), přečtěte si tento článek.

Kroky

Metoda 1 z 3:

Řešení nejjednodušších úkolů s tituly

jeden. Terminologie. Například daný titul

23

$2 ^ {3}$ . Zde 2 je základní stupeň, a 3 je exponent. Číslo

23

$2 ^ {3}$ Vyjádřené takhle: dva ve třetím stupně nebo dva na Kubě.

Pokud je obrázek přítomen 2, například, $Pět 2$ $5 ^ {2}$ , Pak se takový indikátor nazývá Náměstí, To znamená, že náš příklad je vyjádřen takto: Pět na náměstí.
Pokud je obrázek přítomen 3, například, $103$ $10 ^ {3}$ , Pak se takový indikátor nazývá Kostka, To znamená, že náš příklad je vyjádřen takto: deset na Kubě.
Pokud číslo nemá indikátor stupně, znamená to, že obrázek je rovna 1. Například, $čtyři = čtyři jeden$ $4 = 4 ^ {1}$ .
Jakékoli číslo (frakce, výraz) postavený na nulový stupeň, rovný 1, to znamená $čtyři 0 = jeden$ $4 ^ {0} = 1$ nebo $(3 / osm)^{0} = jeden.$ $(3/8) ^ {0} = 1$ Více informací naleznete v části "Tipy".

Obrázek s názvem Řešení exponentů krok 2

2. Vynásobte základy samotného stupně počtem časů rovných ukazateli míry. Pokud potřebujete vyřešit úkol se stupněm ručně, přepište titul ve formě multiplikační operace, kde je základem stupně násoben sám. Například daný titul

3 čtyři

$3 ^ {4}$ . V tomto případě musí být základem stupně 3 násobeno 4 krát:

3 * 3 * 3 * 3

. Zde jsou další příklady:

4 Pět = 4 * 4 * 4 * čtyři * 4

$4 ^ {5} = 4 * 4 * 4 * 4 * 4$

osm 2 = osm * osm

$8 ^ {2} = 8 * 8$

Deset na Kubě

= 10 * 10 * 10

Obrázek s názvem Řešení exponentů Krok 3

3. Začněte násobit první dvě čísla. Například,

4 Pět

$4 ^ {5}$ =

čtyři * čtyři * 4 * 4 * 4

. Nebojte se - proces výpočtu není tak komplikovaný, jak se zdá být na první pohled. První vynásobte první dva čtyři, a pak je vyměňte s výsledkem. Takhle:

čtyři Pět = 4 * 4 * čtyři * čtyři * 4

$4 ^ {5} = 4 * 4 * 4 * 4 * 4$

čtyři * čtyři = šestnáct

$4 Pět = šestnáct * 4 * 4 * čtyři$ $4 ^ {5} = 16 * 4 * 4 * 4$

Obrázek s názvem Řešení Exponents Krok 4

čtyři. Vynásobte výsledek (v našem příkladu 16) na následující číslo. Každý následný výsledek bude proporcionálně zvýšen. V našem příkladu násobí 16 až 4. Takhle:

čtyři Pět = šestnáct * čtyři * čtyři * 4

$4 ^ {5} = 16 * 4 * 4 * 4$

šestnáct * čtyři = 64

$4 Pět = 64 * čtyři * 4$ $4 ^ {5} = 64 * 4 * 4$

64 * 4 = 256

$4 Pět = 256 * 4$ $4 ^ {5} = 256 * 4$

256 * 4 = 1024

Pokračovat vynásobte výsledek vynásobení prvních dvou čísel na další číslo, dokud neobdržíte finální odpověď. Chcete-li to provést, změňte první dvě čísla a výsledek je vynásoben dalším číslem v sekvenci. Tato metoda je platná pro jakýkoliv stupeň. V našem příkladu byste měli dostat: $4 Pět = 4 * 4 * 4 * 4 * 4 = 1024$ $4 ^ {5} = 4 * 4 * 4 * 4 * 4 = 1024$ .

Obrázek s názvem Řešení exponentů Krok 5

Pět. Rozhodněte se o následujících úkolech. Recenze Kontrola s kalkulačkou.

osm 2

$8 ^ {2}$

34

$3 ^ {4}$

107

$10 ^ {7}$

Obrázek s názvem Řešení exponentů krok 6

6. Na kalkulačce naleznete klíč indikovaný jako "exp", nebo "XN{DisplayStyle x ^ {n}} $X ^ {n}$ "Nebo" ^ ". S tímto klíčem zvýšíte číslo do stupně. Vypočítat rozsah s velkým indikátorem ručně nemožným (například stupně

I. I patnáct

$I ^ {{15}}$ ), ale kalkulačka se s tímto úkolem snadno vyrovnává. V systému Windows 7 může být standardní kalkulačka přepnut do inženýrského režimu - pro tuto kliknutí "Zobrazit" -> "Inženýrství". Chcete-li přepnout do normálního režimu, klepněte na tlačítko "Zobrazit" -> "Obvyklý".

Zkontrolujte odpověď přijatá společností Google. Využití klíče "^" na klávesnici počítače, zadejte výraz v vyhledávači, který okamžitě zobrazí správnou odpověď (a může nabídnout podobné výrazy ke studiu).

Metoda 2 z 3:

Přidání, odčítání, násobení stupňů

jeden. Složit a odečíst stupně pouze v případě, že mají stejné základy. Pokud potřebujete přidat stupně se stejnými bázemi a indikátory, pak můžete vyměnit provoz přidání operace násobení. Exprese je například uveden

čtyři Pět + {čtyři}^{Pět}

$4 ^ {5} + 4 ^ {5}$ . Nezapomeňte, že titul

čtyři Pět

$4 ^ {5}$ může být reprezentován jako

jeden * čtyři Pět

$1 * 4 ^ {5}$ - tím pádem,

4 Pět + 4^{Pět} = jeden * 4^{Pět} + jeden * {čtyři}^{Pět} = 2 * {čtyři}^{Pět}

$4 ^ {5} + 4 ^ {5} = 1 * 4 ^ {5} + 1 * 4 ^ {5} = 2 * 4 ^ {5}$ (kde 1 + 1 = 2). To znamená, že počet podobných titulů a pak vynásobte takový stupeň a toto je číslo. V našem příkladu, propracovaný 4 v pátém stupni, a pak získaný výsledek vynásobte 2. Nezapomeňte, že adiční operace může být například nahrazena multiplicitní operací, například,

3 + 3 = 2 * 3

. Zde jsou další příklady:

$32 + 3^{2} = 2 * 3^{2}$ $3 ^ {2} + 3 ^ {2} = 2 * 3 ^ {2}$
$čtyři Pět + {čtyři}^{Pět} + {čtyři}^{Pět} = 3 * {čtyři}^{Pět}$ $4 ^ {5} + 4 ^ {5} + 4 ^ {5} = 3 * 4 ^ {5}$
$čtyři Pět - {čtyři}^{Pět} + 2 = 2$ $4 ^ {5} -4 ^ {5} + 2 = 2$
$čtyři s 2 - 2 s^{2} = 2 s^{2}$ $4x ^ {2} -2x ^ {2} = 2x ^ {2}$

Obrázek s názvem Řešení exponentů Krok 8

2. Při násobení stupňů se stejnou základnou jsou jejich indikátory složeny (základna se nezmění). Exprese je například uveden

s 2 * s^{Pět}

$x ^ {2} * x ^ {5}$ . V tomto případě musíte jen složit ukazatele, ponechat základ beze změny. Tím pádem,

s 2 * s^{Pět} = s^{7}

$X ^ {2} * x ^ {5} = x ^ {7}$ . Zde je vizuální vysvětlení tohoto pravidla:

s 2 * s^{Pět}

$x ^ {2} * x ^ {5}$

s 2 = s * s

$x ^ {2} = x * x$

s Pět = s * s * s * s * s

$X ^ {5} = x * x * x * x * x$

s 2 * X^{Pět} = (s * s) * (s * s * s * s * s)

$X ^ {2} * x ^ {5} = (x * x) * (x * x * x * x * x)$

Vzhledem k tomu, že základna se násobí sama o sobě, můžeme to předložit v následujícím formuláři:

X 2 * X^{Pět} = s * s * s * s * s * s * s

$X ^ {2} * x ^ {5} = x * x * x * x * x * x * x$

$s 2 * s^{Pět} = s^{7}$ $X ^ {2} * x ^ {5} = x ^ {7}$

Obrázek s názvem Řešení exponentů krok 9

3. Když je stupeň zvýšen do stupně, ukazatele jsou variabilní. Například daný titul

(s 2)^{Pět}

$(x ^ {2}) ^ {5}$ . Vzhledem k tomu, že ukazatele stupně jsou variabilní, pak

(s 2)^{Pět} = s^{2 * Pět} = s^{10}

$(x ^ {2}) ^ {5} = x ^ {{2 * 5}} = x ^ {{10}}$ . Význam tohoto pravidla je, že vynásobíte titul

(s 2)

$(x ^ {2})$ pro sebe pětkrát. Takhle:

(s 2)^{Pět}

$(x ^ {2}) ^ {5}$

(s 2)^{Pět} = s^{2} * s^{2} * s^{2} * s^{2} * s^{2}

$(x ^ {2}) ^ {5} = x ^ {2} * x ^ {2} * x ^ {2} * x ^ {2} * x ^ {2} * x ^ {2}$

Protože základna je stejná, ukazatele stupně jednoduše doplňují: $(s 2)^{Pět} = s^{2} * s^{2} * s^{2} * s^{2} * s^{2} = s^{10}$ $(x ^ {2}) ^ {5} = x ^ {2} * x ^ {2} * x ^ {2} * x ^ {2} * x ^ {2} * x ^ {2} = x ^ {2} = x ^ {{10}}$

Obrázek s názvem Řešení exponentů Krok 10

čtyři. Stupeň s negativním indikátorem by měl být převeden na zlomek (naopak). Ne problém, pokud nevíte, co je to zadní. Pokud máte například titul s negativním ukazatelem, například,

3 - 2

$3 ^ {{- 2}}$ , Zapište si tento stupeň v denominátoru kalhoty (v numerátoru, místo 1), a učinit indikátor pozitivní. V našem příkladu:

\frac{jeden}{3} 2

${Frac {1} {3 ^ {2}}}$ . Zde jsou další příklady:

Pět - 10 = \frac{jeden}{Pět} 10

$5 ^ {{- 10}} = {frac {1} {5 ^ {{{10}}}}$

3 s - 4 = \frac{3}{s} čtyři

$3x ^ {{- 4}} = {frac {3} {x ^ {4}}}$

Obrázek s názvem Řešení Exponents Krok 11

Pět. Při dělení stupňů se stejnou základnou jsou jejich ukazatele odečteny (základ nemění). Provozní operace je opakem násobení. Exprese je například uveden

44 {čtyři}^{2}

${Frac {4 ^ {4}} {4 ^ {2}}}$ . Odstraňte indikátor stupně v denominátoru, od indikátoru stupně stojícího v nulátoru (nezměňujte základnu). Tím pádem,

čtyři čtyři {čtyři}^{2} = {čtyři}^{4 - 2} = 4^{2}

${Frac {4 ^ {4}} {4 ^ {2}}} = 4 ^ {{4-2}} = 4 ^ {2}$ = šestnáct.

V tomto formuláři lze napsat stupeň, který čelí jmenovateli:

\frac{jeden}{čtyři} 2

${Frac {1} {4 ^ {2}}}$ =

4 - 2

$4 ^ {{- 2}}$ . Nezapomeňte, že frakce je číslo (stupeň, výraz) s negativním ukazatelem stupně.

Obrázek s názvem Řešení exponentů Krok 12

6. Níže jsou uvedeny některé výrazy, které vám pomohou naučit se vyřešit úkoly s tituly. Tyto výrazy pokrývají materiál stanovený v této části. Chcete-li zobrazit odpověď, stačí zvýraznit prázdný prostor po znamení rovnosti.

Pět 3

$5 ^ {3}$ = 125

22 + 2^{2} + 2^{2}

$2 ^ {2} + 2 ^ {2} + 2 ^ {2}$ = 12

s jeden 2 - 2 s^{jeden} 2

$x ^ {1} 2-2x ^ {1} 2$ = -X ^ 12

a 3 * a

$y ^ {3} * y$ =

a čtyři

$y ^ {4}$ Nezapomeňte, že libovolné číslo je stupeň s indikátorem 1

(NA 3)^{Pět}

$(Q ^ {3}) ^ {5}$ =

NA jeden Pět

$Q ^ {1} 5$

R Pět R^{2}

${Frac {r ^ {5}} {r ^ {2}}}$ =

R 3

$R ^ {3}$

Metoda 3 z 3:

Řešení úkolů s frakčními ukazateli

jeden. Stupeň s frakčním indikátorem (například, sjeden2{DisplayStyle x ^ {frac {1} {2}}} $X ^ {{{{{frac {1} {2}}}}$ ) je převeden na extrakci kořene. V našem příkladu:

s \frac{jeden}{2}

$X ^ {{{{{frac {1} {2}}}}$ =

\sqrt{s}

. Nezáleží na tom, jaké číslo je v denominátoru frakčního ukazatele stupně. Například,

s \frac{jeden}{čtyři}

$X ^ {{{{{frac {1} {4}}}}$ - to je kořen čtvrtého stupně od "X", to je

s 4

Provoz extrakce kořenů je zpět ve vztahu k operaci cvičení. Například, pokud kořen $X čtyři$ postavit čtvrtý stupeň, pak dostanete "x", stejně jako $šestnáct čtyři = 2$ Můžete zkontrolovat následujícím způsobem: $2 čtyři = šestnáct$ $2 ^ {4} = 16$ . Další příklad: pokud $s 4 = 2$ , pak $24 = s$ $2 ^ {4} = x$ - tím pádem, $s = 2$ .

Obrázek s názvem Řešení Exponents Krok 14

2. Pokud je indikátor nepravidelný zlomek, může být takový stupeň rozložen pro dva stupně pro zjednodušení řešení problému. V tom není nic složitého - jen si pamatujte pravidlo násobení podle stupňů. Například daný titul

s \frac{Pět}{3}

$X ^ {{{{{frac {5} {3}}}}$ . Zapněte takový stupeň kořene, jehož stupně bude roven jmenovateli frakčního indikátoru, a pak tento kořen vezme do stupně rovného číslu rozdělovače. Udělej to, pamatujte si to

\frac{Pět}{3}

(\frac{jeden}{3}) * Pět

. V našem příkladu:

s \frac{Pět}{3}

$X ^ {{{{{frac {5} {3}}}}$

s \frac{Pět}{3} = s^{Pět} * s^{\frac{jeden}{3}}

$X ^ {{{{frap {5} {3}}}} = x ^ {5} * x ^ {{{frac {1} {3}}}}$

s \frac{jeden}{3} = s 3

$X ^ {{{{{fruh {1} {3}}}} = {SQRT [{3}] {x}}$

s \frac{Pět}{3} = s^{Pět} * s^{\frac{jeden}{3}}

$X ^ {{{{frap {5} {3}}}} = x ^ {5} * x ^ {{{frac {1} {3}}}}$ = $(s 3)^{Pět}$ $({SQRT [{3}] {x}}) ^ {5}$

Obrázek s názvem Řešení Exponents Krok 15

3. Fold, odčítání a prodloužené frakční ukazatele pro obecná pravidla. Je snazší přidat a odečíst zlomkové ukazatele před převodu titulů v kořenech nebo v číslech. Pokud jsou stupně dány se stejnými bázemi a ukazateli, rozvíjejí se a odečtou podle obecných pravidel. Pokud jsou stupně dány pouze se stejnými bázemi, můžete je násobit a rozdělit (pouze pokud si pamatujete Pravidla přidávání a odčítání zlomků). Například:

X \frac{Pět}{3} + X^{\frac{Pět}{3}} = 2 (s^{\frac{Pět}{3}})

$X ^ {{{{{frac {5} {3}}}} + X ^ {{{frac {5} {3}}}} = 2 (x ^ {{{{{{{{{{frac {5} {3}} }})$

s \frac{Pět}{3} * s^{\frac{2}{3}} = s^{\frac{7}{3}}

$X ^ {{{{frap {5} {3}}}} * x ^ {{{frac {2} {3}}}} = x ^ {{{{{frac {7}}}$

Tipy

Zjednodušení výrazu je přivést ji do takové formy (s využitím plnění matematických operací), což je snazší vyřešit.
Na některých kalkulačcích je tlačítko pro výpočet stupňů (nejprve je třeba zadat základnu, poté stiskněte tlačítko a potom zadejte indikátor). Je označena jako ^ nebo x ^ y.
Nezapomeňte, že libovolné číslo v prvním stupni stejně pro sebe, $čtyři jeden = čtyři.$ $4 ^ {1} = 4$ Kromě toho, jakýkoli počet násobený nebo dělený jeden je roven samému sobě, $Pět * jeden = Pět$ a $Pět / jeden = Pět$ .
Vím, že stupeň 0 neexistuje (tento stupeň nemá žádné řešení). Při pokusu o vyřešení takové míry na kalkulačce nebo v počítači dostanete chybu. Ale nezapomeňte, že jakékoli číslo v nulu je roven 1, například, $čtyři 0 = jeden.$ $4 ^ {0} = 1$
V nejvyšší matematice, která pracuje s imaginárními čísly: $E ale a s = s Ó s ale s + a s a N ale s$ $E ^ {a} ix = cosax + isinax$ , kde $a = \sqrt{(} - jeden)$ - E - konstantní, přibližně rovna 2,7- a - libovolná konstanta. Doklad o této rovnosti lze nalézt v jakékoli učebnici na vyšší matematice.

Varování

S nárůstem ukazatele stupně se zvyšuje jeho hodnota. Takže pokud vás odpověď zdá být špatná, ve skutečnosti může být věrná. Můžete si ho zkontrolovat budováním plánu libovolné orientační funkce, například 2.