Jak vyřešit opakující se rovnice -

Před nálezem vzorce určité matematické sekvence je nutné najít ntt člen této sekvence, vyjádřený přes předchozí člen sekvence (a ne jako funkce z n). Například by bylo hezké znát funkci n-tého členu fibonacci sekvence, ale často máte pouze recidivující rovnici, která spojuje každý člen fibonacci sekvence se dvěma předchozími členy. Tento článek vám řekne, jak vyřešit opakující se rovnice.

Kroky

Metoda 1 z 5:

Aritmetický postup

jeden. Zvažte posloupnost 5, 8, 11, 14, 17, 20, ....

Obrázek s názvem Řešení opakování relas krok 2

2. Každý člen této sekvence je větší než předchozí člen 3, takže může být vyjádřen opakující se rovnicí znázorněnou na obrázku.

Obrázek s názvem Řešení recidivy relas krok 3

3. Opakující se rovnice typu a_N = A_N-1 + D je aritmetická progrese.

Obrázek s názvem Řešení recidivy Relass krok 4

4. Zaznamenejte vzorec pro výpočet N-tého členu aritmetického progrese, jak je znázorněno na obrázku.

Obrázek s názvem Řešení opakování relas krok 5

Pět. Dodejte hodnotu ve vzorci této sekvence. V našem příkladu 5 - to je 0. člen sekvence. Pak má vzorec vzhled a_N = 5 + 3N. Je-li 5 prvního členu sekvence, pak vzorec má formu A_N = 2 + 3N.

Metoda 2 z 5:

Geometrický postup

jeden. Zvažte posloupnost 3, 6, 12, 24, 48, ....

Obrázek s názvem Řešení recidivy relas krok 7

2. Každý člen této sekvence je větší než předchozí člen 2krát, takže může být vyjádřen opakující se rovnicí znázorněnou na obrázku.

Obrázek s názvem Řešení recidivy Relass krok 8

3. Opakující se rovnice typu a_N = R * a_N-1 je geometrický postup.

4. Zaznamenejte vzorec pro výpočet n-tého členu geometrického progrese, jak je znázorněno na obrázku.

Obrázek s názvem Řešení recidivy relas krok 10

Pět. Dodejte hodnotu ve vzorci této sekvence. V našem příkladu 3 - to je 0. člen sekvence. Pak má vzorec vzhled a_N = 3 * 2. Pokud je 3 první člen sekvence, pak vzorec má vzhled a_N = 3 * 2.

Metoda 3 z 5:

Polynomiální

jeden. Zvažte sekvenci 5, 0, -8, -17, -25, -30, ..., dána opakovanou rovnicí zobrazenou na obrázku.

Obrázek s názvem Řešení recidivy relas krok 12

2. Jakákoliv opakovaná rovnice druhu znázorněného na obrázku (kde p (n) je polypled z n), má polynom, jehož indikátor je 1 větší než indikátor.

Obrázek s názvem Řešení recidivy relas krok 13

3. Napsat polynom odpovídajícího řádu. V našem příkladu P má druhý řád, takže je nutné napsat kubický polynom, aby představil sekvenci A_N.

Obrázek s názvem Řešení recidivy Relass krok 14

4. Od čtyř neznámých koeficientů na kubickém polynomu napište systém čtyř rovnic. Jakékoliv čtyři jsou vhodné, takže zvažte 0 OH, 1., 2. členové. Pokud chcete, zvažte -1th člen opakující se rovnice pro zjednodušení rozhodovacího procesu (ale není nutné).

Obrázek s názvem Řešení opakování relas krok 15

Pět. Rozhodněte se výsledný stupeň (P) +2 rovnice pro stupeň (P) = 2 neznámý, jak je znázorněno na obrázku.

Obrázek s názvem Řešení recidivy Relass krok 16

6. Pokud - Jedná se o jeden z členů, které používáte k výpočtu koeficientů, pak budete rychle najít stálý člen polynomial a systém můžete zjednodušit do stupně (p) +1 rovnice pro stupeň (p) +1 neznámý jako na obrázku.

Obrázek s názvem Řešení recidivy relas krok 17

7. Rozhodněte se systém lineárních rovnic a získejte C₃ = 1/3, c₂ = -5/2, C_jeden = -17/6, C = 5. Zapište si vzorec pro a_N ve formě polynomu se známými koeficienty.

Metoda 4 z 5:

Lineární opakující se rovnice

jeden. To je jedna z metod pro řešení fibonacci. Tato metoda však může být použita pro vyřešení všech opakujících se rovnic, ve kterých je N-B lineární kombinace předchozích členů K. Zvažte sekvenci 1, 4, 13, 46, 157, ....

Obrázek s názvem Řešení recidivy Relass krok 19

2. Napište charakteristický polynom recidivující rovnice. Chcete-li to udělat, vyměňte a_Nna x a rozdělit atx- dostanete polynomiální stupeň k a trvalý člen než nula.

Obrázek s názvem Řešení opakování relase krok 20

3. Rozhodnout o charakteristickém polynomu. V našem příkladu drží titul 2, takže použijte vzorec pro nalezení kořenů čtvercové rovnice.

Obrázek s názvem Řešení recidivy relas krok 21

4. Jakýkoliv výraz vzhledu uvedeného na obrázku splňuje opakující se rovnice. C_{I. I}- Jedná se o jakoukoliv konstantní a základy stupně jsou kořeny charakteristického polynomu (řešené výše).

Pokud má charakteristický polynomiál několik kořenů, pak musíte udělat následující. Pokud r je kořen multiplicity m, místo_jedenR) použití (c_jedenR + C₂Nr + c₃nr + ... + C_Mnr). Zvažte například sekvenci 5, 0, -4, 16, 144, 640, 2240, ..., uspokojující recidivující rovnice a_N = 6a_N-1 - 12a_N-2 + 8a_N-3. Charakteristický polynom má tři kořeny a vzorec je napsán jako: A_N = 5 * 2 - 7 * n * 2 + 2 * n * 2.

Obrázek s názvem Řešení opakování relas krok 22

Pět. Najít trvalý c_{I. I}, splnění počátečních podmínek. Pro tento záznamový systém rovnic s počátečními podmínkami. Vzhledem k tomu, že v našem příkladu neznámého zapište systém dvou rovnic. Jakékoliv dva jsou vhodný, takže zvažte 0. a 1. členové, aby se zabránilo konstrukci iracionálního čísla do větší míry.

Obrázek s názvem Řešení recidivy relas krok 23

6. Vyřešte výsledný systém rovnic.

Obrázek s názvem Řešení recidivy Relass krok 24

7. Nalezeno konstantní Subde ve vzorci.

Metoda 5 z 5:

Provádění funkcí

jeden. Zvažte posloupnost 2, 5, 14, 41, 122 ..., dána opakovanou rovnicí zobrazenou na obrázku. Nelze jej vyřešit pomocí kteréhokoliv z výše popsaných metod, ale vzorec je přes výrobu funkcí.

Obrázek s názvem Řešení recidivy relas krok 26

2. Napište funkci vyrábějící sekvencí. Výrobní funkce je formální řada výkonu, kde koeficient X je n-th člen sekvence.

Obrázek s názvem Řešení recidivy relas krok 27

3. Převést produktivní funkci podle obrázku. Účelem tohoto kroku je najít rovnici, která vám umožní vyřešit výrobní funkci A (x). Odstraňte počáteční člen. Aplikujte recidivující rovnici pro zbývající členy. Rozdělit částku. Odstranit stálé členy. Použijte definici a (x). Použijte vzorec pro výpočet množství geometrického progrese.

Obrázek s názvem Řešení recidivy relas krok 28

4. Najděte produkt A (x).

Obrázek s názvem Řešení Opakování relas krok 29

Pět. Najděte koeficient na X v A (X). Metody nalezení koeficientu závisí na typu funkce A (x), ale obrázek ukazuje způsob elementárních frakcí v kombinaci s generující funkcí geometrického progrese.

Obrázek s názvem Řešení recidivy relas krok 30

6. Zapište si vzorec pro a_N, Chcete-li najít koeficient na x v a (x).

Tipy

Indukční metoda je také velmi populární. Často se snadno dokazuje (pomocí indukční metody), že nějaký vzorec splňuje určitou opakovanou rovnici, ale problém je, že je nutné odhadnout vzorec předem.
Některé z popsaných metod vyžadují velké množství výpočtů, které mohou znamenat chyby. Proto zkontrolujte vzorec pro několik známých podmínek.