Jak řešit polynomy -

V matematice, polynomiální (nebo polynomiální) je množství nebo rozdíl jedních lůžek. Plánované zahrnují proměnné a konstantní, například jednookóna jsou 4, -10x a 3x. Polynom se skládá z jakéhokoliv konečného počtu jednolůžkových, které neobsahují negativní indikátory stupně (x), proměnné v denominátoru (1 / x) a proměnné pod čtvercovou kořenovou značkou. Chcete-li vyřešit polynomiální, musíte zjistit, jaké hodnoty x polynomi je nula.

Kroky

Metoda 1 z 5:

Záznam Polynomial

jeden. Uspořádat členy polynomu v sestupném pořadí ukazatelů stupňů. Přepište tento polynomi, aby člen s nejvyšší míra stupně je první, a člen s nejmenším indikátorem - poslední. Například polynom -1 + 3x - X bude přepsat: -X + 3x- 1.

Nezapomeňte, že negativní člen bude vždy negativní, i když ji napíšete do prvního člena. Podívejte se na předchozí příklad --X -X byl negativní (protože byl odečten), takže zůstal negativní, když jste ho zaznamenali s prvním členem.

Obrázek s názvem Řešení Polynomials Krok 2

2. Zjednodušit polynomial. Někdy každý člen polynomialu obsahuje násobitel, který může být dosažen držáků, a tím zjednodušit polynom. Například v polynomu 2x + 4x - 12, každý člen je rozdělen do 2, tj. 2 může být odebráno z držáků: 2 * (x + 2x - 6), zatímco hodnota původního polynomu nebude změna. Nezapomeňte, že tato metoda je použitelná pouze v případě, že každý člen má obecný násobitel.

Chcete-li zkontrolovat výpočty, vynásobte každý člen na 2. Počáteční polynom musí být získán: 2x + 4x - 12 = (2 x x) + (2 * 2x) - (2 * 6)

Tato metoda je použitelná pro proměnné, například: 3x * (x + 3) = 3x + 9x.

Vždy vezměte největší násobitel pro závorky. V polynomu 10x + 20x pro držáky je možné nejen 2, ale také 10x.

3. Určete, zda je možné vyřešit polynom. Nezapomeňte, že polynom obsahuje jakýkoliv konečný počet jednolůžkových křídel, které neobsahují negativní stupeň (x) negativní indikátory, proměnné v denominátoru (1 / x) a proměnné pod čtvercovou kořenovou značkou. Pokud alespoň jeden z těchto podmínek není splněna, je tato rovnice řešena metodami, které nejsou v tomto článku uvažovány.

Mějte na paměti, že polynomy indikují stupeň, jejíž stupně je 4 (x) a vyšší, je velmi obtížné rozhodnout, ale pro to můžete použít grafickou kalkulačku.

Pokud zefektivňuje polynom v sestupném pořadí ukazatelů, bude zaznamenán ve standardním formuláři.

4. Pamatujte si hlavní matematické termíny. Je velmi obtížné vyřešit polynomy, pokud neznáte terminologii. Zapamatujte si následující podmínky:

Plánované (nebo jen člen) je matematický výraz, který obsahuje konstantní, proměnnou nebo konstantní a variabilní. Například 5, x, 3t, 15Y.

Polynomiální (nebo polynomiální) - to je množství nebo rozdíl jedních lůžek.

Faktem je číslo, které při násobení dává třetí číslo na jiné číslo. Například multiplikátory 10 jsou čísla 2, 5, 1, 10, protože každá z těchto čísel, která je vynásobena jiným číslem, dá 10. Multiploys mohou být proměnné, například multiploše 10x jsou 2, 5, 1, 10 a X.

Stupeň je největší míra míry proměnné, která je zahrnuta v polynomu. Například polynom X + 3x + 55 je polynom pátého stupně.

Tři stale je polynom, který se skládá ze tří homorálů, například 2x + x + 12.

Dva (nebo binom) je polynom, který se skládá ze dvou homorálů, například x + 9. Mějte na paměti, že některé polynomy mohou být rozloženy na násobiteli dvou a více vyhazovače.

Metoda 2 z 5:

Rozložení tří zúčastněných stran

jeden. Vyřešit polynom, který je uveden ve formě tří. Tento článek popisuje pouze čtvereční tří metrů (indikátor jejich stupně nepřesahuje 2, například X, 3x, a tak dále), protože tyto tři stupně jsou nejčastější a snadno řešit. Tři se musí rozložit na práci dvou benomů prvního stupně. Zvažte příklad: X + 9x - 20.

Obrázek s názvem Řešení Polynomials Krok 6

2. Nezapomeňte, že kožní léty mohou být rozloženy na multiplikátoři ve dvou benomech. Chcete-li vyřešit tři rozhodnutí, je nutné jej zjednodušit, a za to se rozkládá třikrát pracovat dva benomy, jehož indikátor nepřesahuje 1 (například X, 5x a tak dále). Vzpomeňte si na pořadí násobení dvou odrazů: první členové, první a druhý člen, druhý a prvních členů, druhé členové. Například pohyb kroucení (x + 3) a (x + 2):

(x + 3) (x + 2)

První členové. První členové jsou x.

x * x = X

První a druhý člen. První člen je X, a druhý 2.

x * 2 = 2x

Druhé a první členové. Druhý termín je 3, a první x.

3 * x = 3x

Druhý člen. Druhé členové jsou 3 a 2.

3 * 2 = 6

Sklopte výsledky, abyste získali polynomiální: X + 3x + 2x + 6.

Fold (nebo odečíst) Podobné členy pro zjednodušení polynomu (podobné členy jsou členy obsahující proměnnou se stejným indikátorem): x + 5x + 6

Obrázek s názvem Řešení Polynomials Krok 7

3. Rozšířit tři sázky. Většina tří sázek může být rozložena na dva faktory, z nichž každá je kroucený dvoufázová. Tato metoda obsahuje metodu vzorku a chyb. Věnujte pozornost následujícím:

První termín tří-mela (X) je výsledkem násobků prvních členů každé dva.

Druhý člen tří prohlásil (X) je součtem výsledků násobení prvního a druhého a druhého a prvního členů každého dne.

Třetí člen tří deklarovaných (6) je výsledkem násobení druhých členů každé dva.

Pokud je třetí pero negativní, pak bude druhý člen jednoho z twisterů negativní.

Zapište si rozklad tří-tahů na kus twisters ve formě x + x - 6 = (__ +/- __) (__ + / -__) (__ + / -__), to znamená, že je třeba je nalézt hladký a nahradit místo mezer.

Obrázek s názvem Řešení Polynomials Krok 8

4. Najděte první koktejly (pro každou dvojici závorek). Zvažte příklad: X + X - 20. Chcete-li najít první, podívejte se na první člen tří, a umístit jej na páry nejjednodušších násobitelů. V našem příkladu jsou tyto faktory X a X, protože x * x = x.

Nalezeno hladké nahradit místo prvních mezer uvnitř každé dvojice závorek: (x + / -__) (x +/- __)

Nezapomeňte, že náměstí je jakákoliv proměnná nebo konstantní, vynásobená sama.

Pět. Najít dvě čísla, jejichž práce je třetí členem tří. Chcete-li to udělat, podívejte se na třetího člena tří bot a rozšířete jej na všechny možné multiplikační páry. V našem příkladu (třetí termín je číslo -20) Tyto páry multiplikátorů jsou následující čísla:

-10 * 2 = 20

10 * -2 = -20

-4 * 5 = -20

4 * -5 = -20

Řešení složitých polynomů, můžete použít desetinné frakce (-3 * 6,6666), ale takové polynomy jsou velmi obtížné rozhodnout, protože je téměř nemožné aplikovat metodu vzorků a chyb. V takových případech si vychutnejte grafickou kalkulačku.

Obrázek s názvem Řešení Polynomials Krok 10

6. Mezi ty, které byly nalezeny (v předchozím kroku), páry multiplikátorů vyberou takové několik čísel, když je druhý člen připraven, druhý člen je tři. Konstantní (konstanta) je vždy před proměnnou. V našem příkladu je druhý člen tří záběrů x. Protože konstanta není specifikována, je rovna 1, protože x * 1 = x. Takže musíte vybrat takový pár čísel, když získaný přidání 1. V našem příkladu je takový pár čísel -4 a 5: -4 + 5 = 1. Takže práce odrazí bude vypadat takto: (x - 4) (x + 5).

Pozitivní čísla jsou identifikována s doplňkem a negativní - s odečtením.

Poznámka: Vzít v úvahu konstanta prvního člena tří. Například, pokud v našem příkladu bude první termín tří declevů 3x, pak takový trojitý není stanoven na násobiteli (3x - 4) (X + 5), protože v tomto případě je množství výsledků výsledků Práce prvního a druhého členů a druhého a prvního členu nejsou rovny 1: 15 + (-4) = 11. Zde si musíte vybrat jiný pár faktorů -20.

7. Vynásobte členy odrazů ke kontrole výsledku. V našem příkladu:

(X - 4) (x + 5)

První členové. x * x = x

První a druhý člen. x * 5 = 5x

Druhé a první členové. -4 * x = -4x

Druhý člen. -4 * 5 = -20

Sklopte výsledky, abyste získali polynom: x + 5x - 4x - 20

Složení nebo odečíst podobné členy: x + x - 20

Vzhledem k tomu, že výsledný mletý styl se shoduje se zdrojem, řešení je správné.

Obrázek s názvem Řešení polynomů Krok 12

osm. Praxe v rozkladu tří sázek na multiplikátoři. Asi třikrát obtížnější rozložit než ostatní. Pokuste se rozložit následující čtverce na faktorech a porovnat přijaté odpovědi s následujícími.

Jednoduchý úkol: X + 4x + 3.

Odpovědět: (x + 1) (x + 3)

Normální úkol: X - 9 + 18.

Odpovědět: (X - 3) (X - 6)

Obtížný úkol: 4x - 2x -6

Odpovědět: (2x - 3) (2x + 2)

Metoda 3 z 5:

Rozhodnutí polynomů

jeden. Chcete-li vyřešit polynomiální, musíte ho vyrovnat na nulu. Úkoly vyžadují "najít hodnoty proměnné, ve kterých je polynomial 0", nebo "najít kořeny polynomu", nebo jednoduše "vyřešit polynomiální". Před vyrovnáním polynomu na nulu použijte tipy uvedené v první části tohoto článku. Zvažte příklad: 3x (2x - 4) (x + 5) = 0.

Kořeny polynomu jsou umístěny tam, kde je nula, to znamená, že je to bod (na souřadnicové rovině), ve kterém graf polynomální funkce kříží osu X (horizontální osa).

Obrázek s názvem Řešení polynomů Krok 14

2. Vyrovnejte každý biccoon (pokud jste rozložili polynom pro multiplikátory) na nulu. Vzhledem k tomu, že polynom je poklenen na několik faktorů, hlavní úkol je rozdělen do několika dílčích úkolů. Pokud je 0 násobeno libovolným výrazem nebo číslem, pak se rozsvítí 0, takže můžete zvážit každý multiplikátor zvlášť. V našem příkladu je tedy úkol rozdělen do 3 podtaskaktů:

Rovnice A: 3x = 0

Rovnice B: 2x - 4 = 0

Rovnice C: X + 5 = 0

Obrázek s názvem Řešení polynomů Krok 15

3. Rozhodněte se o všech rovnicích, tj. "X". Každé rozhodnutí bude kořenem původního polynomu. Najít "x", oddělit tuto proměnnou na jedné straně rovnice.

Rovnice A: Zbavte se 3 cestou na následující rozdělení: 3x / 3 = 0/3.

x = 0

Rovnice B: 2x - 4 +4 = 0 + 4

2x / 2 = 4/2

X = 2

Rovnice C: X + 5 - 5 = 0 - 5

X = -5

Našli jste kořeny polynomu.

Obrázek s názvem Řešení Polynomials Krok 16

4. Chcete-li zkontrolovat odpověď, nahraďte hodnoty nalezené v původním polynomu. To je rychlý a spolehlivý způsob, jak zkontrolovat jakékoli rozhodnutí. Namísto "x" nahrazuje hodnoty nalezených - pokud je řešení správné, polynom bude roven 0.

X = 0: (3 * 0) (2 * 0 - 4) (0 - 5) = 0

(0) (- 4) (- 5) = 0

0 = 0

Odpověď je správná. Zkontrolujte zbývající hodnoty "X".

Metoda 4 z 5:

Řešení komplexních polynomů

jeden. Zjednodušit polynomial. Chcete-li to udělat, umístěte ji do práce zkroucené a tři. Například produkt (X-5) (X + X - 20) může být rozdělen do dvou rovnic a vyřešit je samostatně.

Pokud je vysoce daný vysoký stupeň, například X, pak může být napsáno následovně: (x), což výrazně zjednodušuje své rozhodnutí.

Například x + 2x + 4 = (x + 2) (x + 2)

Obrázek s názvem Řešení polynomů Krok 18

2. Vyřešte polynom, který je uveden ve formě rozdílu dvou kostek. Pokud je počet nebo variabilní kostka odečtena od krychle jiného počtu nebo proměnné, například X - 8, pak může být takový rozdíl rozložen na výrobku zkroucené a tři deklarované vzorcem zkrácených násobení: (A - B) (A + AB + B) = A - B

V našem příkladu A = X, B = 2 (od 2 = 8). Proto X - 8 = (X - 2) (X + 2x + 8).

Chcete-li pochopit, jak se zobrazí tento vzorec, otevřete Tato stránka (v angličtině).

3. Naučte se vyřešit čtvercovou rovnici. Čtvercová rovnice je druhý stupeň polynom rovnocenný nulu. Čtvercová rovnice může být použita k řešení složitých polynomů bez grafické kalkulačky. S pomocí vzorce pro řešení čtvercové rovnice můžete rychle najít kořeny polynomu.

Metoda 5 z 5:

Pomocí grafické kalkulačky

jeden. Pro vyřešení komplexního polynomu použijte grafickou kalkulačku. Komplikované polynomy jsou polynomy s velkým počtem členů, lichých ukazatelů stupně nebo skrytých násobičů. Grafická kalkulačka najde kořeny v automatickém režimu. Nejjednodušší způsob, jak používat funkci ZEROS (ZEROS).

Obrázek s názvem Řešení Polynomials Krok 21

2. Zadejte polynomi v grafické kalkulačce. To se zpravidla provádí na obrazovce Y = _____ nebo f (x) _____ (polynom je zadán namísto mezer).

Obrázek s názvem Řešení Polynomials Krok 22

3. Podívejte se na plán. Na obrazovce kalkulačka se zobrazí zadaný polynomiální graf.

Obrázek s názvem Řešení polynomials Krok 23

4. Klikněte na "Zeros" (Zeros). V nejoblíbenějších grafických kalkulačcích vyráběných přístrojem Texasu klepněte na tlačítko "2." - "Calc" - "Zeros". Na jiných grafických kalkulačcích může být odpovídající funkce nazývána "kořeny" (kořeny), "vypočítat kořeny" (vypočítat kořeny), "vypočítat nuly" (vypočítat nuly).

Obrázek s názvem Řešení polynomů krok 24

Pět. Vyberte body ležící vlevo a vpravo od požadovaného kořene. Blikající bod se zobrazí na grafu. Pomocí tlačítek se šipkami nastavte bod blikajícího bodu nalevo od průsečíku bodu grafu s osou abscisy. Označte vybraný bod. Tento proces opakujte, abyste označili bod vpravo od požadovaného kořene.

Kalkulačka nabídne tyto body.

Nezvolte celý rozvrh - Zvyšte jej a vyberte body vlevo a vpravo od údajného kořene (tj. Křižovatky grafu s osou x).

Obrázek s názvem Řešení polynomů Krok 25

6. Nezapomeňte označit body, ve kterých se graf jednoduše týká (ale nepřekročí) osu X. Tyto body jsou také kořeny rovnice.

Pokud jste našli kořeny polynomu ručně, zkontrolujte je grafickou kalkulačkou. Chcete-li to udělat, v kalkulačce naleznete souřadnice bodu průsečíku grafu s osou x.

Tipy

Nebojte se, jestliže polynom obsahuje další proměnné, například t, nebo pokud se rovná f (x), a ne 0. Pokud potřebujete najít kořeny, nuly nebo multiplikátoři, řešit takový polynom, stejně jako jakýkoliv jiný (tj. Jak je popsáno v tomto článku).
Vzpomeňte si na postup pro provádění matematických operací. Nejprve vyřešte expresi v závorkách, pak násobit nebo rozdělit, a pak složit nebo odečíst.