Jak zjednodušit s průvodcem

Anferred výraz je algebraický výraz, který je pod znakem kořene (čtvercový, kubický nebo vyšší objednávka). Někdy mohou být hodnoty různých výrazů stejné, například 1 / (√2 - 1) = √2 + 1. Zjednodušení exprese krmení je navrženo tak, aby ho přivedlo k nějaké kanonické formě záznamu.Pokud jsou dva výrazy zaznamenané v kanonickém formuláři, jsou stále jiné, jejich hodnoty nejsou stejné. V matematice se předpokládá, že kanonická forma zaznamenávání výrazů krmení (stejně jako výrazy s kořeny) splňuje následující pravidla: t

Pokud je to možné, zbavte se frakce pod kořenovým znakem
Zbavte se výrazu s frakčním ukazatelem
Pokud je to možné, zbavte se kořenů v denominátoru
Zbavte se operace kořene kořene
Pod znamením kořene musíte opustit pouze ty členy, ze kterých nelze extrahovat root celé číslo

Tato pravidla mohou být použita na realizaci zkušebních úkolů. Pokud se například rozhodnete úkol, ale výsledek neodpovídá žádné z odpovědí, napište výsledek v kanonickém formuláři. Mějte na paměti, že odpovědi na testování úkolů jsou uvedeny v kanonickém formuláři, takže pokud napíšete výsledek ve stejném formuláři, můžete snadno určit správnou odpověď. Pokud je úkol povinen "zjednodušit odpověď" nebo "Zjednodušit výrazy krmení", je nutné nahrávat výsledek v kanonickém formuláři. Kanonická forma navíc zjednodušuje řešení rovnic, i když s některými rovnicemi je snazší vyrovnat se, pokud na chvíli zapomenout na kanonickou formu záznamu.

Kroky

jeden. V případě potřeby si pamatujte pravidla pro provádění operací s kořeny a Stupně (Nezapomeňte: vedený výraz je výrazem s frakčním ukazatelem stupně), protože tato pravidla budou zapotřebí v budoucnu. Navíc pamatujte pravidla pro odvolání a zjednodušují polynomy a Racionální výrazy.

Metoda 1 z 6:

Zbavte se plných čtverců a plných kostek

jeden. Zjednodušte výraz krmení, která je plnou čtverec. Plné náměstí je číslo, které je čtverec některých celých čísel, například 81 je kompletní čtverec, protože 9 ^ 2 = 9 x 9 = 81. Chcete-li zjednodušit výraz krmení, což je kompletní čtverec, stačí se zbavit kořenového znaménka a zapsat celé číslo (když bude čtverec na náměstí).

Například, 121 je kompletní čtverec, protože 11 x 11 = 121. Tak, √121 = 11 (to je, zbavíme se kořenového znamení a napsat celé číslo).
Pro usnadnění výpočtů si pamatujte následující plné čtverce: 1 x 1 = 1, 2 x 2 = 4, 3 x 3 = 9, 4 x 4 = 16, 5 x 5 = 25, 6 x 6 = 36, 7 x 7 = 49, 8 x 8 = 64, 9 x 9 = 81, 10 x 10 = 100, 11 x 11 = 121, 12 x 12 = 144.

2. Zjednodušte podmíněný výraz, který je plný krychle. Kompletní kostka je číslo, které je krychle některých celých čísel, například 27 je kompletní krychle, protože 3 ^ 3 = 3 x 3 x 3 = 27. Chcete-li zjednodušit výraz krmení, která je kompletní krychle, stačí se zbavit kořenového štítu a zapište si celé číslo (když bude krychle v krychle).

Například 343 je kompletní kostka, protože 7 x 7 x 7 = 343. Kubický kořen 343 je tedy 7.

Metoda 2 z 6:

Zbavte se výrazu s frakčním ukazatelem

Převést výraz s frakčním indikátorem v řízeném výrazu. Nebo v případě potřeby převést podmíněný exprese do exprese s frakčním indikátorem, ale nikdy nemíchejte takové výrazy v jedné rovnici, například následujícím způsobem: √5 + 5 ^ (3/2). Předpokládejme, že jste se rozhodli pracovat s kořenem odmocniného odmocniny z n jsme označili jako √n, a kubický kořen n jako krychle√√n.

jeden. Najít výraz s frakčním indikátorem a převést jej do vedeného výrazu: x ^ (a / b) = b-th stupeň kořen z x ^ a.

Pokud je stupeň kořene zlomek, také se ho zbavte. Například kořen 2 / 3RD stupně od 4 = (√4) ^ 3 = 2 ^ 3 = 8.

2. Převést výraz s negativním ukazatelem na odpovídající frakční výraz: x ^ (- y) = 1 / x ^.

To platí pouze pro konstantní, racionální indikátory. Když termín obsahuje proměnnou, například 2 ^ x, nedotýkejte se IT, i když je proměnná "X" zlomková nebo negativní.

Tyto členy a zjednodušit jakékoli racionální výrazy.

Metoda 3 z 6:

Zbavte se frakcí pod znamením kořene

Podle kanonické formy záznamu musí být kořen frakce reprezentován jako kořenová divize z celých čísel.

jeden. Podívejte se na výraz chlapa. Pokud je to zlomek, přejděte k dalšímu kroku.

2. Vyměňte kořen frakce s poměrem dvou kořenů podle následující identity: √ (A / B) = √a / √b.

Nepoužívejte tuto identitu, pokud je denominátor negativní nebo obsahuje proměnnou, která může být negativní. V tomto případě nejprve zjednodušte zlomek.

3. Zjednodušte plné čtverce (pokud existují). Například √ (5/4) = √5 / √4 = (√5) / 2.

4. Proveďte další zjednodušení, jako je například, Zjednodušte kompozitní zlomky, Přinést tyto členy a tak dále.

Metoda 4 z 6:

Zbavte se operace násobení plodin

jeden. Pokud je rovnice přítomna v operaci násobení kořene záření, Kombinovat dva odnímatelné výrazy pod jedním znakem kořene Podle totožnosti: √a * √b = √ (ab). Například √2 * √6 = √12.

Tato identita je platná pouze tehdy, když nejsou subkortované výrazy negativní. Například √ (-1) * √ (-1) ≠ √ (1) - Zde výraz vlevo je -1 (nebo není definován, pokud nevíte, jak pracovat s komplexními čísly) a výrazem Právo je +1, totožnost není provedena. Pokud má "A" a / nebo "B" negativní hodnotu, použijte imaginární jednotku, která je označena jako I: √ (-5) = i * √5. Pokud stav cílového výrazu není znám z podmínek problému (to znamená, že může být pozitivní nebo negativní), nedotýkejte se takového výrazu. Nebo použijte obecnější identitu: √a * √b = √ (SGN (A)) * √ (SGN (b)) * √ (| ab |), který se provádí pro všechna platná čísla "A" a "B" , ale zpravidla není nutné komplikovat řešení tohoto problému z důvodu zavedení po částečné funkci (SGN).
Tato identita je použitelná pouze tehdy, když mají kořeny stejný stupeň. Chcete-li násobit kořeny s různými stupni, musíte je nejprve přeměnit na kořeny se stejným stupněm. Například √5 * Cube√7. Dočasně převede výrazy krmení ve výrazech s frakčními indikátory: √5 * Cube√7 = 5 ^ (1/2) * 7 ^ (1/3) = 5 ^ (3/6) * 7 ^ (2/6) = 125 ^ (1/6) * 49 ^ (1/6) = (125 * 49) ^ (1/6) = 6125 ^ (1/6). To znamená, že se ukázalo kořen 6. stupně od 6125.

Metoda 5 z 6:

Zbavte se multiplikátorů, kteří jsou plné čtverce

jeden

Prohlášení Pocked číslo. Zemědělci jsou několik čísel při násobení, které počáteční číslo se získá. Například 5 a 4 jsou dva multiplikátory čísel 20. Pokud nelze odstranit celočíselný kořen z minulého počtu, rozšířete takové číslo pro možné multiplikátory a nalézt celé náměstí mezi nimi.

Například zapište všechny multiplikátory čísla 45: 1, 3, 5, 9, 15, 45. 9 je násobitel 45 (9 x 5 = 45) a plné čtverec (9 = 3 ^ 2).

2. Vezměte násobitel pro štít kořen, což je plné náměstí. 9 je plné náměstí, protože 3 x 3 = 9. Zbavte se 9 pod znamení kořene a psát 3 před znakem kořene - pod znakem kořene zůstane 5. Pokud provedete číslo 3 pod štítkem uživatele kořen, bude násobit samotným a číslem 5, tj. 3 x 3 x 5 = 9 x 5 = 45. Tak, 3√ 5 je zjednodušená forma záznamu √45.

√45 = √ (9 * 5) = √9 * √5 = 3√5.

3. Najít plné náměstí v odděleném vyjádření s proměnnou. Pamatujte: √ (a ^ 2) = | a |. Takový výraz lze zjednodušit na "A", ale pouze v případě, že proměnná má pozitivní hodnoty. √ (A ^ 3) lze rozložit na √a * √ (A ^ 2), protože při vynásobení stejných proměnných jsou jejich indikátory složeny (A * a ^ 2 = A ^ 3).

Tak, ve výrazu A ^ 3, plné náměstí je ^ 2.

4. Vezměte proměnnou pro root znamení, což je plné náměstí. Zbavte se ^ 2 pod kořenovým signálem a zapište si "A" před znakem kořene. Tak, √ (a ^ 3) = A√a.

Pět. Tyto členy a zjednodušit jakékoli racionální výrazy.

Metoda 6 z 6:

Odlehčení od kořenů v denominátoru (racionalizace jmenovatele)

jeden. Podle kanonické formy jmenovatel, Pokud je to možné, pouze celá čísla by měla zahrnovat (nebo polynomiální v případě proměnné přítomnosti).

Pokud je denominátor v nepravděpodobný pod kořenovým znakem, například [numerátor] / √5, násobit numerátor a jmenovatele k tomuto kořenům: ([numerator] * √5) / (√5 * √5) = ([numerátor] * √5) / pět.

V případě kořene kubického kořene nebo kořene větší stupeň násobit numátor a jmenovatele do kořene s namontovaným výrazem v příslušném stupni racionalizovat denominátor. Pokud například v denominátoru je krychle√5, vynásobte numerátor a jmenovatele pro Cube√ (5 ^ 2).

Pokud je denominátor výrazem ve formě součtu nebo rozdílu v čtvercových kořenech, jako je √2 + √6, vynásobte numerátor a jmenovatele pro konjugované expresi, tj. Exprese s opačným znakem mezi jeho členy. Například: [numerátor] / (√2 + √6) = ([numerator] * (√2 - √6) / ((√2 + √6) * (√2 - √6)). Potom, pomocí vzorce čtvercového rozdílu ((A + B) (A - B) = A ^ 2 - B ^ 2) racionalizaci jmenovatele: (√2 + √6) (√2 - √6) = (√ 2) ^ 2 - (√6) ^ 2 = 2 - 6 = -4.

Čtvercový rozdíl vzorec může být také aplikován na expresi formy 5 + √3, protože jakékoli celé číslo je druhý kořen z jiného celého čísla. Například: 1 / (5 + √3) = (5 - √3) / ((5 + √3) (5 - √3)) = (5 - √3) / (5 ^ 2 - (5 ^ 2 - (√3) ^ 2) = (5 - √3) / (25 - 3) = (5 - √3) / 22

Tato metoda může být aplikována na součet čtvercových kořenů, jako je √5 - √6 + √7. Pokud se jedná o skupinu tohoto výrazu ve formuláři (√5 - √6) + √7 a vynásobte jej na (√5 - √6) - √7, nemusíte se zbavit kořenů a získat výraz Zadejte A + B * √30, kde "A a" B "- knocked bez kořene. Poté může být výsledný výraz vynásoben konjugátem: (A + B * √30) (A - B * √30), aby se zbavil kořenů. To znamená, že pokud můžete použít konjugovaný výraz jednou, aby se zbavil určitého počtu kořenů, pak mohou být použity co nejvíce, jak se zbavit všech kořenů.

Tato metoda platí také pro kořeny vyšších stupňů, například na výraz "kořen 4. stupně 3 plus 7. stupeň kořen 9". V tomto případě vynásobte bradavku a jmenovatele k výrazu, konjugujte expresi v denominátoru. Ale zde bude exprese konjugátů mírně odlišný ve srovnání s výše popsanými výše. O tomto případě lze číst v učebnicích na algebře.

2. Zjednodušte numerátor poté, co se zbavíte kořenů v denominátoru. V nulátoru je produkt původního výrazu a konjugovaného exprese. Otevřené závorky, pohybující se příslušné členy. Přinést tyto členy a, pokud můžete, zjednodušit výsledný výraz.

3. Pokud je denominátor negativní celé číslo, vynásobte numerátor a jmenovatele na -1 převést toto číslo na pozitivní.

Tipy

Na internetu existují zdroje, které automaticky zjednodušují výrazy krmení. Stačí zadat výraz krmení a stisknutím klávesy Enter zobrazíte zjednodušený výraz.
Pro některé jednoduché úkoly nelze použít popsané metody. V případě některých komplexních úkolů musí být tyto metody použity více než jednou. Krok za krokem Zjednodušte přijaté výrazy a zkontrolujte, zda je zapsána konečná odpověď v kanonickém formuláři, jejichž kritéria jsou uvedena na samém počátku tohoto článku. Pokud je odpověď prezentována v kanonické podobě, je úkol vyřešen - jinak využívejte popsaných metod.
Jako pravidlo, kanonická forma záznamu platí pro komplexní čísla (i = √ (-1)). I když je komplexní číslo napsáno ve formě I, ne kořen, je lepší se zbavit I v denominátoru.
Některé metody popsané zde znamenají práci s čtvercovými kořeny. Obecné principy jsou stejné pro kubické kořeny nebo kořeny vyšších stupňů, ale jsou velmi obtížné aplikovat některé metody (zejména způsob racionalizace jmenovatele). Kromě toho požádejte učitele o správném záznamu kořenů (Cube√4 nebo Cube√ (2 ^ 2)).
V některých částech tohoto článku se koncept "kanonické formy" používá docela správně - ve skutečnosti musíme hovořit o "standardní formě". Rozdíl spočívá v tom, že kanonická forma vyžaduje zaznamenávat buď 1 + √2, nebo √2 + 1- standardní, znamená, že oba výrazy (1 + √2 a √2 +1) jsou nepochybně stejné, i když jsou zaznamenány různé způsoby. Zde, pod "nepochybně" aritmetika (přídavný komutací) a ne algebraickými vlastnostmi (√2 je nezáporný kořen x ^ 2-2).
Pokud se popsané metody zdají být nejednoznačné nebo odporovány, provádějte konzistentní a jednoznačné matematické akce a napište odpověď, protože učitel vyžaduje nebo jak přijat v učebnici.